如何计算时间复杂度

如何计算时间复杂度

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大 O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以 上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时 间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

21 交换i和j的内容

sum=0； （一次）

for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）

for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）

sum++； （n^2次 ）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

22

for (i=1;i<n;i++)

{

y=y+1; ①

for (j=0;j<=(2n);j++)

x++; ②

}

解： 语句1的频度是n-1

语句2的频度是(n-1)(2n+1)=2n^2-n-1

f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2)

O(n)

23

a=0;

b=1; ①

for (i=1;i<=n;i++) ②

{

s=a+b;③

b=a;　④

a=s;　⑤

}

解： 语句1的频度：2,

语句2的频度： n,

语句3的频度： n-1,

语句4的频度：n-1,

语句5的频度：n-1,

T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n)

O(log2n )

24

i=1; ①

while (i<=n)

i=i2; ②

解： 语句1的频度是1,

设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n

取最大值f(n)= log2n,

T(n)=O(log2n )

O(n^3)

25

for(i=0;i<n;i++)

{

for(j=0;j<i;j++)

{

for(k=0;k<j;k++)

x=x+2;

}

}

解： 当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1++m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)1/2++(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3)

我 们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。

下面是一些常用的记法：

访问数组中的元素是常数时间 *** 作，或说O(1) *** 作。一个算法 如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间 。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于需要 求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的 。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名 的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况， 通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

一、O(n) : n次循环内执行两条命令， 总计2n忽略常数则O(n)

二、O(n^2) : n次循环内， 第i次循环执行i条命令， 则时间复杂度为O(1+2+3+n)， 则为O(n(n+1)/2)忽略常数为O(n^2)

三、O(n) : 在栈内从n递归到1需要递归n层， 每层执行一次乘法则为O(n)

程序设计是给出解决特定问题程序的过程，是软件构造活动中的重要组成部分。程序设计往往以某种程序设计语言为工具，给出这种语言下的程序。程序设计过程应当包括分析、设计、编码、测试、排错等不同阶段。专业的程序设计人员常被称为程序员。

任何设计活动都是在各种约束条件和相互矛盾的需求之间寻求一种平衡，程序设计也不例外。在计算机技术发展的早期，由于机器资源比较昂贵，程序的时间和空间代价往往是设计关心的主要因素;随着硬件技术的飞速发展和软件规模的日益庞大，程序的结构、可维护性、复用性、可扩展性等因素日益重要。

时间复杂度为O(n^05)，即根号n的数量级。该程序求解的是：s=1+3+5+7++(2k+1)，且使得s-(2k+1)<n≤s。而s=(1+(2k+1))(k+1)/2=(k+1)^2，k+1则为上述等差数列的项数，也是你的程序中while循环执行的趟数。求出k<根号n≤(k+1)，因此循环执行根号n趟。则T(n)=2+5n^05+1，解释一下T(n)这个式子，第一项2表示最开始的2个赋值 *** 作；第二项中n^05表示循环的趟数，前面的系数5表示每趟有5个基本 *** 作：一次循环条件判断、两次加法、两次赋值；第三项的1表示最后的一次循环条件判断（因不满足条件但没执行该趟循环）。所以T(n)=5n^05+3，所以O(T(n)=O(5n^05+3)=O(n^05)。

时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数

该程序

S=0; -------这里是常数O(1),

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

s+=b[i][j]; ----这里是n的平方，用平方阶表示O(n^2)

sum = s;-------这里是常数O(1)

所以上述时间复杂度是T(n) = 两个常数O(1) + n的平方，两个常数相对n的平方来说是低阶项去掉，即常数阶可以去掉忽略不计。

最终时间复杂度是T(n) = O(n^2)

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