开刷：《信号与系统》 Lec #10 离散时间傅里叶级数和变换

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

p133 - p147

p150 - p152

p155 - p159

p227 - p236

首先我们证明复指数信号 是LTI系统的特征函数，假设LTI系统的单位脉冲响应为 ，输入 ，那么输出可以通过卷积和得到，

令 ，那么

得证 是离散LTI系统的特征函数， 是特征值。

在傅里叶分析中，只考虑 的情况，也即 ，因此仅考虑 形式的复函数。

回忆第一章学习离散时间周期信号时，一个与连续时间周期信号非常重要的不同点，就是成谐波关系的周期信号只有 个，因为在频率上相差 的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的！那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个 有限项级数 。

定义一个离散时间周期信号 ，

基波周期为使上式成立的最小正整数 ，基波频率 。傅里叶分析中我们使用复指数函数 就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号，它们都是周期的，其基波频率都是 的倍数，

因为对于谐波函数来说，频率相差 的整数倍时，两函数相等，具体来说就是谐波函数只有 个，

我们希望利用 的线性组合来表示一个更为一般的周期信号 ，即

注意上面求和中，求和限为 ， 可以从0到 ，也可以1到 ，也可以其他任意 个连续整数。

对于复指数 这样一个周期信号，在一个周期内对自变量 求和，

仔细观察上面的求和式，当 时， 为一个常数1，这时对 求和结果就是 ；而当 取其他值时， 是一个周期信号，周期为 ，那么在周期内对 求和结果为0。

基于以上推导，我们现在来想办法求傅里叶级数系数 。将 的傅里叶级数表达式重写在下面，

首先，左右两边同时乘以 ，

再对自变量 在 内求和，

交换上式等号右边的求和顺序可得，

想不明白上面求和顺序变换的话，可以笨办法展开求和，发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个 行 列的矩阵元素的和，你可以横着求和也可以竖着求和；又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和，可以for i包含for j，也可以for j包含for i，这个求和顺序不会影响求和结果。

回到上面的等式，等号右边有一个求和

当 时（或者说相差 的整数倍，我这里就简单点不严谨一下），这个求和结果等于 ；如果 ，这个求和结果为0。

那么可以写出下面这个式子，

这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了，

回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解，和这里思路一模一样，都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。

此外，除了 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，与连续时间不同的是，因为

所以，

也就是说， 的值是以 为周期重复的。

由于 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象。

上面的求和就是 周期卷积 。

这篇笔记一开始，我们定义了 ，

其中 是LTI系统的单位脉冲响应。 被称作 系统函数 ，将 局限在 形式的系统函数被称为系统的 频率响应 ，

令LTI系统输入 为一个周期信号，其傅里叶级数表示为，

输出就是，

考虑某一序列 ，具有有限持续期，也就是说对于整数 和 ，在 的范围之外， 。由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ，使得对 来说， 是它的一个周期。随着 的周期 增大， 就在更长的时间间隔内与 相等，而当 时， 。

写出周期信号 的傅里叶级数表达，

因为在 区间内， ，所以 可以写作，

又因为在 区间外，有 ，所以

现定义函数

那么

其中 表示频域中的样本间隔。将 代回到 的傅里叶级数综合公式中，

又因为 ，

随着 ，上式中的求和演变为一个积分，积分宽度为 ，因为求和是对 个宽为 的间隔内完成的，所以积分宽度为 。

上式就是离散时间傅里叶变换。

在离散时间中，由于频率相差 的复指数信号是完全一样的 ，所以

如果 是绝对可积的，即

或者信号 的能量是有限的，即

那么 的傅里叶变换 就是收敛的。

对于综合公式，因为积分区间是有限的，因此一般不存在收敛问题，而且也不会有吉布斯现象。

与连续时间相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号，

我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时，知道 的傅里叶变换就是一个发生在 处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对 来说必须是周期的，周期为 ，那么 的傅里叶变换应该就是发生在 、 、 等处的冲激，即

为了验证上式，求 的傅里叶逆变换，

注意看，这里积分区间为 ，因此整个积分区间内只会有一个冲激，假设积分区间内的冲激发生在 ，那么

这就证明了

现在我们考虑一个周期序列 ，周期为 ，其傅里叶级数为

那么我们就可以写出 的傅里叶变换

自然界的矿物及其共生组合，是天然的物理化学体系的产物，它们的存在、变化及特点，必然受自然界物理化学规律的制约。

由热力学理论知，自然界中所有的自发过程，必然伴随着一个大于或等于零的熵的变化，朝着自由能减小的方向进行，其物质的转移是向着化学位降低的方向进行。体系趋向于自由能最低的状态。

吉布斯自由能（Gibbs free energy）是温度、压力的函数。当温度、压力改变时，其自由能必然会发生变化，组分的化学位也随之而变，体系中相的组成也必将向着使总自由能最小的方向变化，从而达到新的平衡态。例如，自然界中文石会自发地变为方解石，其重要原因之一即是方解石的吉布斯自由能（G）比文石的自由能小。

体系或相的吉布斯自由能可表示为：

结晶学及矿物学

式中：H和S分别为体系或相的焓（enthalpy）和熵（entropy），T为绝对温度。

自发过程中吉布斯自由能的改变量为：

结晶学及矿物学

式中：ΔH和ΔS分别是自发过程中的焓变和熵变。

由于在标准状态（25℃，1×105Pa）下，方解石（Cc）和文石（Arag）的焓和熵分别是：

结晶学及矿物学

所以，文石→方解石的变化过程中焓变ΔH°和熵变ΔS°分别为：

结晶学及矿物学

因此，文石变为方解石时，吉布斯自由能的改变量为：

结晶学及矿物学

即文石变为方解石，其吉布斯自由能减小，是自由能降低的转变过程，故方解石比文石更为稳定。

顺便再提一下，作为翡翠主要成分的硬玉矿物，化学成分很纯的硬玉与混有少量透辉石固溶体成分的不纯硬玉相比，前者的吉布斯自由能要比后者大一些，此即自然界最常见鲜绿色的透辉石翡翠，而白色的纯硬玉翡翠则少见的主要原因之所在。

（二）兰多理论

相变的兰多理论（Landau theory）系统计物理学的内容，它是最近一二十年才被引入矿物学等物质科学中的，是用矿物的有序参数Q和过剩热力学函数：Ge（过剩自由能）、Se（过剩熵）和He（过剩焓），讨论矿物因温度的变化所发生的相变规律。

兰多理论的核心是矿物的有序参数Q这个广义的统计物理学概念，它指的是矿物相变过程中，矿物某些宏观性质的变化程度；定义高温变体的有序参数Q为0，低温变体的有序参数Q为1。相变中间阶段的变体之有序参数则为介于0和1之间的数值，是一个小数。

这里，矿物的宏观性质，可以是光学性质，也可以是某些原子或离子（如Al/Si，Fe2+/Mg等）的占位性质；同样也可以是其他的物理性质和化学性质。

例如，高温黑云母的颜色是棕黑色，低温黑云母的颜色为绿色。前者的有序参数Q=0，后者Q=1。颜色介于棕黑色与绿色之间者，它们的Q为介于0和1之间的数值。

又如，高温堇青石属六方晶系，其xy面上的双折率为0，低温堇青石为斜方晶系，xy面上的双折率（Ng-Nm）为0004。前者的Q=0，后者的Q=1。xy面上的双折率（Ng-Nm）值介于0与0004之间的堇青石，其有序参数Q为介于0～1之间的数值。

矿物相变有如下三种类型：

（1）一级相变（first order transition）模型：

结晶学及矿物学

当T=Ttr时，Q由0跳跃至Q0：

结晶学及矿物学

当T＜Ttr时：

结晶学及矿物学

以上模型中，Ge为过剩自由能；Q为矿物有序参数；a，b，c为系数；T为矿物的平衡温度；Tc为矿物的二级、三级相变临界温度；Ttr为矿物的一级相变临界温度；Q0为Ttr时的跳跃有序参数；Se为过剩熵；L为潜热；He为过剩焓。

（2）二级相变（second order transition）模型：

结晶学及矿物学

（3）三级相变（tricritical transition）模型：

结晶学及矿物学

在相变的三种模型中，一级相变临界温度Ttr较二、三级相变临界温度Tc高，系数a、b、c不随温度而变化，a总为正值。对于一级相变，b＜0，c＞0；二级相变中，b＞0，c=0；三级相变中，b=0，c＞0。

根据前述三个关系式：，，，兰多理论的三类相变可以图15-6示之。

图15-6 兰多理论的相变模型

显然，在一级相变的转变点Ttr时，有序参数Q由0跳跃至Q0；而对二级、三级相变，在相变点Tc时，Q则是连续变至0。

一级相变的转变过程包括原子或离子之间键的破坏和重建。原变体键的破坏需要相当高的活化能，键被破坏后，原子或离子重新组合形成新的结构，同时变体的某些性质发生跃变，新变体的对称性与原变体对称性无关。因此，一级相变通常被称为重建式相变（reconstructive transformation），或称作结构重建的不连续相变（discontinuous transformation）。一级相变往往是缓慢且不可逆的。

二级相变不涉及化学键的破坏和重建，只是结构中原子或离子稍有位移，键角有所改变，原变体与新变体互为结构的畸变关系。晶体性质的变化是连续的，但对称性在相变点Tc处发生跃变。故二级相变又称为移位式相变（displacive transformation），或称结构畸变改造的连续相变（continuous transformation）。二级相变过程快速而可逆。

摩尔体积、熵和熵变的不连续性是一级相变的特征，其他类型的相变则未显示熵或体积的不连续性。

目前运用兰多理论研究最多的是架状硅酸盐矿物，如长石类矿物。可以在非常宽广的温度范围里，讨论天然长石的相变行为；并与量热实验所得到的长石热力学数据充分地联系起来加以分析。

（三）矿物的变化

矿物及矿物组合的稳定性是由其相对自由能决定的，在一定的温度、压力下，具有最低自由能值的矿物及其组合是最稳定的。

矿物形成以后，当其所处的物理化学条件改变至超出矿物的稳定范围时，矿物即会发生变化而形成新的矿物。

1化学成分的变化

自然界的化学作用决定于环境。在开放体系，体系与环境存在着物质的交换，活性组分总是向着其化学位低的方向迁移，组分重新组合，形成新的矿物，从而使体系的总自由能最低。

（1）交代作用（metasomatism）：是指在地质作用过程中，已形成的矿物与熔体、溶液或气液的相互作用而发生组分上的交换，使原矿物转变为其他矿物的作用。交代作用是矿物化学上变化最常见的一种，它首先沿矿物的边缘或裂隙进行。例如，在热液作用下，橄榄石易被蛇纹石所交代：

结晶学及矿物学

当交代强烈时，原矿物可全部为新形成的矿物所替代，但仍保持原矿物的晶形，这种晶形称为假象（pseudomorph）。如褐铁矿呈现黄铁矿假象，称假象褐铁矿。

（2）水化作用（hydration）：是指无水矿物因一定比例的水加入到矿物晶格中而变成含结晶水的矿物的作用。例如，硬石膏（Ca［SO4］）在近地表处，因外部压力的降低，受地面水的作用而转变为石膏（Ca［SO4］·2H2O）。

（3）脱水作用（dehydration）：是指含水矿物因失去其所含结晶水而变成另一种矿物的作用。如芒硝（Na2［SO4］·10H2O）在干燥气候下失去水分而转变为无水芒硝（Na2［SO4］）。

2晶体结构的变化

在封闭体系中，体系与环境之间只有能量的交换，而无物质上的交换，物理化学条件的改变促使矿物发生晶体结构的转变而化学成分保持不变。晶体结构的变化主要包括同质多象相变和多型相变等。

同质多象相变（polymorphic transformation）：是指当外界条件改变到一定程度时，同质多象各变体之间在固态条件下发生结构的转变。

从变体间晶体结构的变化来看，同质多象相变又可分为重建式相变、移位式相变和有序—无序相变三种基本类型（详见“结晶学”部分）。

通常，在矿物结晶过程中，质点总是倾向于按能量低的结合方式进入特定的结构位置，形成有序结构，以最大限度地降低自由能，然而，热扰动的存在及晶体的快速生长，却促使质点随机地占据任意可能的位置而形成无序结构。显然，无序结构因各处质点分布不同，能量有高有低，不是最稳定的状态。故有序化是必然趋势。随着热力学条件的改变（温度的变化及降温的速度和时间是主要影响因素），有序变体与无序变体会发生相互转变。有序—无序相变往往是在达到一定的临界温度后，通过结构有序度的连续变化而在或长或短的时间内逐步完成的。一般地，当温度升高，可促使晶体结构从有序向无序转变，晶体对称程度增高，而温度缓慢降低，则有利于无序结构的有序化，晶体的对称性降低。

例如，自然界中，钾长石（K[AlSi3 O8 ]）的同质多象变体有：高透长石（Sanh）、低透长石（Sanl）（从 Sanh 到 Sanl，有序度δ可在00～05 范围内变化）、正长石（Or，δ=05～07）、中等微斜长石（Miinter，δ=07～09）和最大微斜长石（Mimax，δ=09～10）。钾长石的同质多象转变，除主要取决于温度外，还与冷却速度（即作用的时间）密切相关（图15-7）。

图15-7 钾长石的相变路线图

多型相变（polytypic transformation）：是指同种物质的不同多型之间的转变。通常属二级相变。

多型性是层状结构晶体的一种固有的特性，可视为一维的同质多象现象。多型在矿物学中被看成是同一矿物种的结构变种。实验业已证明，堆垛层错和位错在多型的生长中起着决定性作用，而层错的分布是受温度、压力、杂质等热力学因素所制约的。在实验条件下，加热及加压能使多型转变。例如，已知多型种类最多的CdI2晶体，有多达240种左右不同的多型，其中以4H型最普遍，其次是2H型。在一次或多次加热过程中，CdI2中所有的多型最后均转变为4H型，从而确定了4H型占优势的热力学稳定性。

矿物晶体相变的研究，在探讨矿物的成因，了解矿物及其所在地质体的形成条件和演化历史，指导找矿，以及人工合成晶体材料等方面，均具有重要意义。

3非晶化与晶化

含铀、钍等放射性元素的晶质矿物，在放射性元素蜕变时放出的α-射线的作用下，其晶格遭受破坏，转变为非晶质矿物，此过程称为非晶化（non-crystallizing）或蜕晶作用（metamictization），这种变生非晶质的矿物称为变生矿物（metamict mineral）。例如含放射性元素的锆石常非晶质化而变为变生矿物水锆石。

相反，一些非晶质矿物，随着时间的推移，会逐渐变为结晶质矿物，这种作用称为晶化（crystallizing）。如胶体矿物逐渐脱水而老化（ageing）变为隐晶质甚至显晶质矿物的胶体结晶作用（collocrystallization），例如蛋白石逐渐脱水而转变为玉髓和石英。

图15-8 金刚石的菱形十二面体凸晶

此外，矿物的变化还包括晶形的变化等。例如，矿物形成之后，受后来的溶液的溶蚀（corrosion），晶体几何凸多面体的角顶、晶棱变圆滑，逐渐向球状晶形过渡，形成凸晶（convex crystal）（图 15-8）。另外，溶液对晶体的溶蚀，还常常在晶面上围绕晶格缺陷进行，从而在晶面上形成一些规则形状的小凹坑，称为蚀象（etch figure）。蚀象的形状和取向符合晶体固有的对称性。因此，常利用蚀象（天然的或人工的）帮助确定晶体的真实对称。

自然界中矿物的变化极其复杂、方式多样。实际上，矿物的形成和变化都是物质运动的形式，具体的某个矿物只不过是物质在特定的物理化学条件下、在一定的时间和空间内处于暂时平衡状态下的一种存在形式，它将随外界条件的改变而不断地变化着。显然，新矿物的形成过程即是原矿物遭受破坏和变化的过程。因此，对矿物各种变化现象的研究，不仅有助于了解矿物形成、演化的历史，而且可提供有关矿物成因的某些信息。

化学反应自发性判断：考虑ΔH和ΔS两个因素的影响，可分为以下四种情况　1)ΔH<0,ΔS>0;ΔG<0正向自发　2)ΔH>0,ΔS<0;ΔG>0正向非自发　3)ΔH>0,ΔS>0;升温至某温度时，ΔG由正值变为负值，高温有利于正向自发　4)ΔH<0,ΔS<0;降温至某温度时，ΔG由正值变为负值，低温有利于正向自发

吉布斯马尔可夫随机场

到目前为止，还没有哪一种方法能够有效地分析、检测SAR图像中所有的结构特征，并进行合理的重构。随着计算机技术的发展，计算负担不再是障碍。马尔可夫随机场由于能够有效地表征图像数据的空间相关性，并且有优化算法的支持，在SAR图像处理中起着越来越重要的作用。 两维矩形点阵上的随机场X若满足：

且P（X=x）>0，则称X是以η为邻域系统的马尔可夫随机场(MRF)。这里x,xij分别表示随机场和随机变量的1个实现，ηij是点(i,j)的邻域系统。 随机场的局部特征很难表达，实用中总是采用联合概率分布。若MRF的联合概率用高斯分布表示，称为高斯马尔可夫随机场(Gauss-MRF)；若采用吉布斯分布表示，称为吉布斯马尔可夫随机场

式中，T表示温度，U称为能量函数；Z是归一化因子，称为分割函数。吉布斯马尔可夫随机场(Gibbs-MRF) Gibbs-MRF主要用于图像复原算法中，一般都和优化的参数估计方法模拟退火相联系。 根据能量函数的具体形式，SAR图像处理中有3种模型，第一种是：

参数λ表征了模型描述图像结构特征尖锐平滑程度的能力。

滤波器主要有低通滤波器、高通滤波器和带通滤波器三种。

低通滤波器，利用电容通高频阻低频、电感通低频阻高频的原理。对于需要截止的高频，利用电容吸收电感、阻碍的方法不使它通过；对于需要放行的低频，利用电容高阻、电感低阻的特点让它通过。

高通滤波器按照所采用的器件不同进行分类的话，会有源高通滤波器、无源高通滤波器两类。

带通滤波器是一种仅允许特定频率通过，同时对其余频率的信号进行有效抑制的电路。由于它对信号具有选择性，故而被广泛地应用现在电子设计中。

H=U+PV，S=Q/T，G=H-TS，

其中熵是一种基本物理量，本身有比较明确的意义。也就是熵增原理了。

而焓呢？本身没有意义。定义这个，不过是为了计算方便而已~~~也就是等压条件下求焓变了~~~

吉布斯自由能也是一样~~~因为熵增原理太大了。实际用起来比较麻烦。于是根据具体条件将熵增原理变为容易使用的，也就是吉布斯自由能了。

定义这些量的用途，因为这些都是状态函数。可以帮助我们较科学的确定判断未来的走向。如果用在化学反应上，是放热还是吸热呢？能否自发进行呢？等等问题，有助于我们预测分析~总不能瞎猜嘛~~~

特别是用在未知领域时，如科研实验。因为你根本就不知情况怎么样的，未知的~于是你就可以根据这些量提前进行分析预测了~~~

当然，对于学生来说，主要是用来考试作题目，用来加深对这些量的理解。为以后的科研实验或什么的打下基础。

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