dct变换编码过程，并说明为什么要进行z字形扫描

DCT的原理

离散余弦变换，简称DCT ，是一种实数域变换，其变换核为余弦函数，计算速度快。DCT 除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述图像信号的相关特征。因此，图像信号的变换中，DCT 变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT 作为其中的一个基本处理模块。而且对于具有一阶马尔柯夫过程的随机信号，DCT十分接近于Karhunen - Loeve 变换，也就是说它是一种最佳近似变换。

DCT变换在图像压缩中有很多应用，它是JPEG、MPEG等数据压缩标准的重要数学基础。在JPEG压缩算法中，先将输入图像划分为8 ×8 或16 ×16的图像块，对每个图像块作DCT 变换，然后舍弃高频的系数，并对余下的系数进行量化以进一步减少数据量;最后使用无失真编码来完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块做DCT 反变换，然后将图像拼接成一副完整的图像。

例如64个像素亮度值经过dct变换后，仍然是64个变换系数，DCT本身并没有压缩数据，但是经过DCT变换后幅值较大的变换系数大多数集中于左上角的直流分量和低频分量，而右下角的高频分量系数都较小，且大部分为0，为后续的熵编码创造了有利条件。这也是利用z字形编码的原因，只需对前面的非零编码，而后续数据就变成了连0序列，可以对连0序列采用游程编码。

Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现一维、二维和 N 维 DFT 算法；而函数ifft、ifft2 和 ifftn 则用来计算反 DFT 。这些函数的调用格式如下：

A＝fft(X,N,DIM)

其中，X 表示输入图像；N 表示采样间隔点，如果 X 小于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进行零填充，否则将进行截取，使之长度为 N ；DIM 表示要进行离散傅立叶变换。

A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)

其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进行零填充后的 X 大小。

A＝fftn(X,SIZE)

其中，SIZE 是一个向量，它们每一个元素都将指定 X 相应维进行零填充后的长度。

函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调用格式于对应的离散傅立叶变换函数一致。

一JPEG压缩过程

JPEG压缩分四个步骤实现：

1颜色模式转换及采样；

2DCT变换；

3量化；

4编码。

二

1．颜色模式转换及采样 RGB色彩系统是我们最常用的表示颜色的方式。JPEG采用的是YCbCr色彩系统。想要用JPEG基本压缩法处理全彩色图像，得先把RGB颜色模式图像数据，转换为YCbCr颜色模式的数据。Y代表亮度，Cb和Cr则代表色度、饱和度。通过下列计算公式可完成数据转换。 Y=02990R+05870G+01140B Cb=-01687R-03313G+05000B+128 Cr=05000R-04187G-00813B＋128 人类的眼晴对低频的数据比对高频的数据具有更高的敏感度，事实上，人类的眼睛对亮度的改变也比对色彩的改变要敏感得多，也就是说Y成份的数据是比较重要的。既然Cb成份和Cr成份的数据比较相对不重要，就可以只取部分数据来处理。以增加压缩的比例。JPEG通常有两种采样方式：YUV411和YUV422，它们所代表的意义是Y、Cb和Cr三个成份的数据取样比例。

2DCT变换 DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，是指将一组光强数据转换成频率数据，以便得知强度变化的情形。若对高频的数据做些修饰，再转回原来形式的数据时，显然与原始数据有些差异，但是人类的眼睛却是不容易辨认出来。 压缩时，将原始图像数据分成88数据单元矩阵，例如亮度值的第一个矩阵内容如下：

JPEG将整个亮度矩阵与色度Cb矩阵，饱和度Cr矩阵，视为一个基本单元称作MCU。每个MCU所包含的矩阵数量不得超过10个。例如，行和列采样的比例皆为4:2:2，则每个MCU将包含四个亮度矩阵，一个色度矩阵及一个饱和度矩阵。 当图像数据分成一个88矩阵后，还必须将每个数值减去128，然后一一代入DCT变换公式中，即可达到DCT变换的目的。图像数据值必须减去128，是因为DCT转换公式所接受的数字范围是在-128到+127之间。 DCT变换公式：

x,y代表图像数据矩阵内某个数值的坐标位置f(x,y)代表图像数据矩阵内的数个数值u,v代表DCT变换后矩阵内某个数值的坐标位置F(u,v)代表DCT变换后矩阵内的某个数值 u=0 且 v=0 c(u)c(v)=1/1414 u>0 或 v>0 c(u)c(v)=1 经过DCT变换后的矩阵数据自然数为频率系数，这些系数以F（0，0）的值最大，称为DC，其余的63个频率系数则多半是一些接近于0的正负浮点数，一概称之为AC。

3、量化 图像数据转换为频率系数后，还得接受一项量化程序，才能进入编码阶段。量化阶段需要两个88矩阵数据，一个是专门处理亮度的频率系数，另一个则是针对色度的频率系数，将频率系数除以量化矩阵的值，取得与商数最近的整数，即完成量化。 当频率系数经过量化后，将频率系数由浮点数转变为整数，这才便于执行最后的编码。不过，经过量化阶段后，所有数据只保留整数近似值，也就再度损失了一些数据内容，JPEG提供的量化表如下：

4、编码 Huffman编码无专利权问题，成为JPEG最常用的编码方式，Huffman编码通常是以完整的MCU来进行的。 编码时，每个矩阵数据的DC值与63个AC值，将分别使用不同的Huffman编码表，而亮度与色度也需要不同的Huffman编码表，所以一共需要四个编码表，才能顺利地完成JPEG编码工作。 DC编码 DC是彩采用差值脉冲编码调制的差值编码法，也就是在同一个图像分量中取得每个DC值与前一个DC值的差值来编码。DC采用差值脉冲编码的主要原因是由于在连续色调的图像中，其差值多半比原值小，对差值进行编码所需的位数，会比对原值进行编码所需的位数少许多。例如差值为5，它的二进制表示值为101，如果差值为-5，则先改为正整数5，再将其二进制转换成1的补数即可。所谓1的补数，就是将每个Bit若值为0，便改成1；Bit为1，则变成0。差值5应保留的位数为3，下表即列出差值所应保留的Bit数与差值内容的对照。

在差值前端另外加入一些差值的霍夫曼码值，例如亮度差值为5（101）的位数为3，则霍夫曼码值应该是100，两者连接在一起即为100101。下列两份表格分别是亮度和色度DC差值的编码表。根据这两份表格内容，即可为DC差值加上霍夫曼码值，完成DC的编码工作。

AC编码 AC编码方式与DC略有不同，在AC编码之前，首先得将63个AC值按Zig-zag排序，即按照下图箭头所指示的顺序串联起来。

63个AC值排列好的，将AC系数转换成中间符号，中间符号表示为RRRR/SSSS，RRRR是指第非零的AC之前，其值为0的AC个数，SSSS是指AC值所需的位数，AC系数的范围与SSSS的对应关系与DC差值Bits数与差值内容对照表相似。 如果连续为0的AC个数大于15，则用15/0来表示连续的16个0，15/0称为ZRL（Zero Rum Length），而（0/0）称为EOB（Enel of Block）用来表示其后所剩余的AC系数皆等于0，以中间符号值作为索引值，从相应的AC编码表中找出适当的霍夫曼码值，再与AC值相连即可。 例如某一组亮度的中间符为5/3，AC值为4，首先以5/3为索引值，从亮度AC的Huffman编码表中找到1111111110011110霍夫曼码值，于是加上原来100（4）即是用来取[5，4]的Huffman编码1111111110011110100，[5，4]表示AC值为4的前面有5个零。 由于亮度AC，色度AC霍夫曼编码表比较长，在此省略去，有兴趣者可参阅相关书籍。 实现上述四个步骤，即完成一幅图像的JPEG压缩。 参考资料[1] 林福宗 《图像文件格式（上）——Windows 编程》，清华大学出版社， 1996年[2] 李振辉、李仁各编著，《探索图像文件的奥秘》，清华大学出版社，1996年[3] 黎洪松、成实译《JPEG静止数据压缩标准》，学苑出版社，1996年

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