我不用“边界点”这个翻译,我用我教材上的翻译“界点”,因为“边界点”这个翻译会误导人。
先说结论:界点有两种,一种不是孤立点,这种界点在点集E的边缘上;另一种为孤立点,存在以它为中心的空心邻域中不包含点集E的任何点,所以这种界点并不在边缘上。
所以你可千万不要以为界点一定只在边缘上,只要它符合界点的定义:任何以它为中心的实心邻域与E都有重合、与E的补集也都有重合的点即为界点。
这样一来,孤立点一定是界点,因为孤立点本身属于E,所以任何以它为中心的实心邻域与E都有重合;同时孤立点是一种“存在以它为中心的空心邻域中不包含点集E的任何点。
”的点,所以它的任何实心邻域与E的补集都会有重合,完全符合界点的定义。
反过来说,孤立点与它本身(属于E)接触,又与E的补集(不属于E)接触,所以它本身必为界点。
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