第三次数学危机

目前我们所学的数学体系相对比较完备，说明三次数学危机都基本解决。

为了使读者更清晰的了解这个问题，下面谈一谈三次数学危机都是什么？并如何解决的？第一次数学危机早在古希腊时期，数学家毕达格拉斯认为，宇宙的一切都是数，而且是整数。

当然，这里很多小朋友会误会，毕达哥拉斯所说的数，包括整数和整数的比，用我们今天的话来翻译，宇宙的一切都是由有理数组成。

后来他的学生希帕索斯，提出问题，边长为一的正方形的对角线如何用两个整数的比表示出来？这冲击了当时的希腊数学整个体系，你当时的数学家深感不安，这就是第一次数学危机。

有一个说法，希帕索斯不仅提出这个问题，同时也给出过证明，彻彻底底推翻了比达格拉斯的理论，所以希帕索斯才惨遭毒手。

至于是不是这样的就不得而知了。

第一次数学危机的解决表明，几何量不能完全用整数表示，反之，任何数却可以有几何量表示出来。

直到人们认识了无理数，认识了实数系，第一次数学危机，算是彻底解决。

也是这一次危机促成了公理几何与逻辑的诞生。

第二次数学危机第二次数学危机于牛顿时代，此时已经诞生了微积分，就是牛顿-莱布尼茨站在巨人的肩膀上，开创了基于微积分的数学新时代！这次危机的关键问题是无穷小量究竟是不是零？两种答案都会产生矛盾，如果无穷小量是零，那么凭什么他当分母？如果无穷小量不是零，那么，凭什么在计算中忽略它的存在。

第二次数学危机的解决，是著名数学家柯西引入了极限的概念，认为无穷小量和无穷大量都是变量，只不过无穷小量的极限是零而已。

在此基础上重新定义了微分和积分，也就是现在我们所学的微积分都是严格的，建立在极限的基础之上，无论是高中还是大学课本都是先引入极限的概念，在此基础上，继续学习微积分。

这次数学危机促成了分析基础理论的完善。

第三次数学危机所有的高中课本的第一节都是集合，而高中教材都会用一页纸的地方介绍集合论的创立人康托尔，康托尔的集合论也成为现代数学的基石，著名数学家庞加莱曾说过：借助集合论，我们可以建造整个数学大厦。

这是对集合论最高的赞美。

众所周知，集合有三要素：“确定性，无序性，互异性”，这么简洁美丽的体系即将迎来前所未有的挑战！几十年后，罗素悖论产生，提出者当然是罗素。

他指出：如果一个理发师只给不自己理发的人理发。

那么他应该给自己理发吗？细心的人发现，这个理发师怎么做都不对，并且又符合集合的定义，这个悖论严重挑战了集合中的“确定性”！用集合的语言来说：如果存在一个集合A={x | x∉x }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。

如果它不成立，A就满足了特征性质。

后来，德国数学家策梅罗，寻找到一种解决办法，把集合论建立在一组公理之上，目的是回避悖论。

后来通过一系列数学家的完善，形成了一个集合论的公理系统，在这个系统之内没有悖论。

这套系统也叫做“ZF公理系统”到此第三次数学危机基本缓和下来。

当然，也有这样的说法，认为第三次数学危机表面上解决了，其实不是解决了，是回避了悖论，然而，数学的确定性却逐渐消失，实质上，第三次数学危机以更深刻的形式在延续着，至今没有解决。

你有什么样的看法呢？欢迎来讨论。

在数学的发展过程中，出现了三次大的危机，前两次危机的解决都极大的推动了社会的变革和发展。

第一次是无理数的发现，在此之前的人们只是很简单的把数字分成了整数和分数，但是这个时候有人发现了一个问题。

那就是一个直角边都是1的斜边无法用一个具体的数字来表示。

也就是我们最早知道的几个无理数之一的根号2。

在毕达哥拉斯之前的古希腊哲学中，整数代表了自然的和谐整洁之美。

根2的出现无疑让自然的洁简之美破碎了。

古人开始研究起了无理数，不再局限于整数的桎梏。

对无理数的研究也让人类第一次思考无穷的概念。

比如一条线段无限分，总有一段是无理数式的长度。

在此期间，芝诺还提出来四大悖论，简称芝诺悖论。

其中以芝诺的乌龟尤为著名。

你不可能追上一只乌龟，即便你是博尔特也不行。

因为你在追乌龟的时候总是要先追上乌龟行进路程的一半，当你追上这一半时，乌龟又前进了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你将陷入到乌龟路程一半的漩涡中无法逃脱。

对无理数和无穷概念的研究和拓展成功的化解了第一次数学危机，人类开始探究新的数学领域，从而推动了很多科学的发展。

比如机器学和建筑学就是在这之后开始迅速的发展起来，正是在这样的背景下便出现了以蒸汽机为代表的的一系列的机器发明，从此人类进入了工业化的蒸汽时代。

十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。

从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

危机就是微积分定义的完善，这个问题其实也就是极限的问题。

中国最早的关于极限问题的记载是老子的一段话：一尺之锤，日取其半，万世不竭。

这种说法已经出现了最早的极限的思想，但是没有进一步的思考，每次取出来之后的相加在一起是多少。

微积分的基础思想就是无限细分再整合。

微积分中总是出现无限逼近的概念。

比如无限小和0的区别，当时的人们在某种情况下直接将无限小当做0来使用，但却不知其中蕴涵的数学意义。

经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。

牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。

由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。

同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。

关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

同时，魏尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。

这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。

由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。

这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

这个问题在当时困扰了很多的数学家，而在这个问题解决之后引发的社会进步就是影响到我们现在电气革命，现在很多的行业都是使用这些极限的计算。

比如说航空中就会使用到这种计算。

有了这种计算的方式之后，人类的进步可以参考我们生活的状况就知道了。

第三次数学危机是人们对集合论的怀疑，起始于1897福尔蒂发现的集合论悖论，再到康托发现第二个悖论，直到罗素提出了“罗素悖论”，才将对集合论的质疑发展到了极致。

也以罗素悖论最为出名。

在罗素悖论中，一个牛逼哄哄的理发师在门店前写了一句广告词：“自己技术精湛，会给所有不能给自己理发的人理发，满足各种挑剔的需求，大家都来我这理发吧！”。

那么问题来了，这个理发师会给自己理发吗？如果理了，那么就不是宣传的那样：只给不能给自己理发的人理发了。

如果理发师不给自己理发，那么他又违背了广告词：只给不能自己理发的人理发。

很多人说罗素悖论只是对集合定义的一种诡辩而已。

可是到现在都没有人能完美解决这一所谓的诡辩。

罗素悖论更像是哲学的本体论，从而划分出来了唯心和唯物主义。

我们从本体论的角度侧面解读一下罗素悖论。

如果我是主观唯心主义，我说世界只是我的表象，大千世界只是我意识幻想出来供我享乐的“虚假场所”。

那么问题来了，“我”的概念也是意识幻想出来的假象吗？如果是，那么“我对“我”的概念质疑的思想”也是意识幻想出来的吗？ 如果还是，那么“我对“我疑我的思想”的质疑”也是意识幻想的了......如果还是，那么我的意识主动性还存在吗？意识本体在哪里？难不成我的前一秒意识幻想出我的后一秒意识吗？好像我一思考自己的意识，意识本体就在自动后退，从而完美规避了我的意识被自己意识。

那么你的意识到底是什么，它还存在吗？如果你的意识存在，请你解释刚才的矛盾。

如果你的意识不存在，那么世界就不是你宣称的唯心主义了，这不和你起初自称唯心的口号矛盾了。

罗素悖论，就很像这个问题，总是首先把自己置身事外，而换个角度看自己又处于事物之中。

那么自己到底在事物之中还是事物之外呢？这个时候我们会发现，在作出选择的时候，结果就已经注定会产生矛盾。

但是如果存在既给自己理发又不给自己理发的状态，那么这个问题是否就解决了呐？这个问题就已经开始涉及到一些现在物理学中研究的前沿的量子存在问题。

有人说第三次数学危机若解决，人类将迈向神级文明，掌握时间，控制生死。

我们会发现，每一次的数学危机都是在在一些最基础的定义上面。

在集合的定义上未来的一个解决方案就是使用四维空间的定义方式，提出一种新的数的存在形式，就像最初只有正数一样后来提出了负数。

一旦这次的危机解决就会在四维空间的计算和运用中取得巨大的成就，因为数学作为一种最基础的学科它的进步和突破都是革命性的。

到时候人类很有可能就会参悟时间的真理，掌握生死的奥秘，人类将会逐步走向大神级别的文明，甚至还会研究出二向箔。

克莱因说：“有一句古老的忠告说：当心您的朋友，您的敌人自会留意。

在科学活动中，这句话的意思就是：怀疑明显的东西，这样您将能清除科学真理中那些含混不清的内容。

任何能对明显的东西进行挑战的人，必定是十分勇敢的英雄，因为人们会认为这种挑战是疯狂的行为。

”