大学数学难题

你应该知道顶级大学数学系里的顶级学霸，大概率曾经是奥数金牌出身。

一道高中难题想难住奥数金牌，不是没有可能，但真是极小概率事件。

不过如果你实际像问的是高中数学和大学数学的关系，这还是不那么简单。

高中数学几乎全部是初等数学，多数情况下，在有大学高等的微积分，线性代数，抽象代数，拓扑…等知识的情况下，是很有可能高屋建瓴的轻易降维秒杀高中难题的。

但也不一定，有些初等数学难题是纯粹的技巧，即使数学家也不一定能很容易想到。

不过别幻想什么高考压轴题之类，那些其实都简单的要死，真正的难题只能到国际奥赛里找。

我这里举个降维打击的例子，表面上不用任何大学数学，但其实完全是在高等数学思想指导下的打击。

比如：找到5次幂级数∑k⁵的求和公式。

这题如果你没见过，只用中学知识是很难入手的（确实有几个很技巧化的解法，但没人教你的话很难想到）。

如果是我来解，纯初等方法，我会一上来就把这个求和公式写出来，是个6次多项式，然后数学归纳法，秒杀。

你可能会质疑：你丫咋就能先把答案蒙出来？是不是作弊？是不是偷看答案了？真不是，这个只是一点大学高等数学的基本素养。

任何一个n次幂级数求和，从高等数学角度看，就是xⁿ积分的离散化形式，而∫xⁿ=xⁿ⁺¹/(n+1)，所以很容易意识到其离散和应该是个n+1次多项式，且最高次项系数=1/(n+1)，那其余系数怎么求？太简单了，n+1次多项式一共n+2和系数，除掉最高次项还有n+1个系数，你随便找n+1个特例（比如k=0…n），列出n+1元一次方程组，矩阵求逆乘上值向量，就是待解的系数向量。

以上过程都在草稿纸上，答卷上只有这个天上掉下来的公式和一个简单的数学归纳法证明。

类似的，我上中学玩奥数时真实碰上过的一个题：一个西瓜切6刀（中途不能挪动），最多切几块？其实这是个特例，更普遍的问题是求解在x维空间里用n个x-1维“超平面”最多能把空间分割成多少块。

答案是Cₙ⁰+Cₙ¹+Cₙ²+…+Cₙˣ。

原题只是取x=3（三维空间），n=6的特例（数值答案是42）。

这个公式也是来自于高等数学，但用中学生的数学归纳法证明不算难。

所以很多高中难题就像在黑暗森林里找路，很多时候高等数学就是一盏盏明灯，有时你看到学霸未卜先知一般匪夷所思的直奔终点，其实也许他只是有一盏你不知道的灯而已。

得看“比较难”是多难。

要是这种题（2008年江西省理科数学第22题）而且还限时30分钟（做到这题一般也就剩这么多时间了），且不允许使用高中数学知识以外的数学知识，我估计他解不出来。

因为这道题当年整个省都没有一个人能完全解出来，最强的也只是拿到一大半分。

既然清北大佬都没做出来，我觉得其他人做出来的可能性也不大。

当然，如果不限时间，让你慢慢想，我觉得顶尖大学数学系顶尖水准出身的做出来这道题只是时间问题。