关于板壳稳定性介绍

[拼音]：banqiao wendingxing

[外文]：stability of plates and shells

工程上大量采用薄的板壳型结构，它们在压力作用下，会在内部应力远小于材料的屈服极限应力（见材料的力学性能）时，突然产生垂直于压力方向的位移而降低承载能力，甚至发生破坏，这种现象称为失稳、皱损或屈曲。板壳失稳是由侧向位移引起的，因而失稳属于刚度问题。由于研究板壳失稳问题就形成了板壳稳定性理论。

一个在上下两边作用着压力 σ的薄板或薄筒壳，在压力比较小时，其内部产生压应力和相应的压应变，而不产生侧向挠度ω。该板或壳由原来的不受力状态转为一个受力的平衡状态。给这一平衡状态以小干扰，比如给一个小的侧向挠度，板或壳中就会产生相应于干扰的应力和应变。在干扰消除后，因干扰引起的应力和应变立刻消失并使板或壳恢复到受干扰前的状态，因而称开始的受力平衡状态为稳定平衡状态。如使σ不断增加并大于某一数值后，干扰所引起的小挠度将迅速扩大，板壳受力的这种平衡称为不稳定平衡。如果板壳所承受的外载荷从小值逐渐增大，则板壳将由稳定平衡过渡到不稳定平衡，在两种平衡之间存在着一种过渡状态，称为临界状态，或称随遇平衡状态。这一状态所对应的外载荷称为临界载荷，其大小称为临界值，板壳内的相应应力称为临界应力，记为σcr 。失稳临界应力值与结构的构造形式、边界条件、材料性能、载荷大小及分布情况等多种因素有关。在结构设计中，应保证结构内的应力不超过临界值。

板壳的失稳形态基本上分为分支点失稳和极值点失稳两类。它们分别可用描述板壳中应力σ 和侧向挠度ω之间关系的图1和图2表示。 分支点失稳的特征是在板壳稳定平衡状态I（图1中曲线OA）附近存在另一个相邻的势能更小的平衡状态Ⅱ(曲线AD)，而在分支点A处发生两种稳定性的转换，板壳中的应力与挠度的关系由实曲线OAD表示；极值点失稳没有上述的分支点，而板壳承载能力有一个最大的限度，压力达到这个限度，板壳的承载能力就突然下降并伴随出现较大变形（图2）。与分支点和极值点相应的压力值都称为板壳的临界压力或临界载荷，板壳中相应的压应力为临界应力。无论板还是壳，只要存在某种初始缺陷，一般来说，其失稳状态多数是极值点失稳，有时失稳问题转化为板壳的弯曲问题。

研究稳定性问题的理论可分为两类：一类是经典线性理论，即小挠度理论，其中的应变-位移和应力-应变之间都是线性关系。另一类是非线性理论，也叫大挠度理论，其中的应变-位移关系和应力-应变关系两者至少有一种是非线性的，前者的非线性称为几何非线性，后者的非线性称为物理非线性。板壳在d性状态下的失稳问题一般是几何非线性问题。若在失稳前已出现塑性变形，则失稳问题中物理非线性和几何非线性一般是并存而且相互影响的。对于薄板，线性理论所计算出的临界压力值相当准确。对于壳体，实际临界压力值比用线性理论计算出的值要小，而且数值也很分散。在研究初始缺陷对失稳影响的基础上发展起来的初始缺陷理论，能很好地解释理论和实际间的差异。

在板壳稳定性问题中，最重要的内容是确定失隐临界压力，方法有三种：

（1）静力学方法：列出微扰动的平衡微分方程，将问题归结为微分方程的本征值问题，求出本征值便可确定临界压力；

（2）动力学方法：利用受微扰动后位移和位移速度不超出预先规定的界限的条件确定临界压力；

（3）能量方法：利用势能最小值条件确定临界压力。

板和壳的形式是多种多样的，有平板、曲板、扁壳、圆筒壳、圆锥壳和各种形式的旋转壳。它们所承受载荷的形式不尽相同，有单向受压和双向受压，轴压和外压等。工程上最常见的皱损问题有：

（1）平板的皱损 矩形平板在自身平面内沿一对边均匀受压下的临界压力公式为：

式中B为垂直于压力方向的板宽；K为系数，随板长、板宽和边界条件的变化而变化， 对于四边简支方板，K=4；D=Et3/12(1-v2)为弯曲刚度，式中t为板厚，E为材料的d性模量，v为泊松比。实验表明，在侧向挠度较小时，上述板的临界应力公式是相当准确的。当侧向挠度达到一定值后，实际临界应力要高于上述理论计算值。

（2）圆筒壳的皱损 一个半径为R、长度为L、壁厚为t、 两端简支的圆筒壳，在受轴向压力作用而失稳后，其挠度可表示为：

，

式中x和s分别表示沿圆筒母线和周线方向的坐标;m为沿母线出现的半波数，2n为沿周向出现的半波数，m和n均与圆筒壳的尺寸有关。上式表示的挠度变化情况可见图3。

根据小挠度理论所计算出的临界应力为：

，

式中K为常数，其理论值为0.605，但实验表明实际的K值为理论值的1/5～1/2。薄壳的非线性理论就是在研究这种差异的背景下产生的。

（3）旋转壳体的皱损 学者们除研究板和圆筒壳外，还研究圆锥壳、截锥壳、球形壳、椭球壳等旋转壳体的稳定性，并得出临界应力的计算公式。这些公式多数是根据线性理论求出结果，再按照实际数据加以修正，以供工程技术人员使用。

平板的稳定性问题是G.H.布赖恩1891年首先进行论述的。他还用能量准则探讨了加劲板（见加劲板壳）受纯压的稳定性问题。以后，S.P.铁木辛柯根据随遇平衡的概念，借助d性势能的变分来求临界压力。圆筒壳的d性稳定性问题是从20世纪初开始研究的。W.弗吕格等人用壳体变形的小挠度理论求得圆筒壳轴压临界值。以后，匈牙利的T.von卡门和中国的钱学森又提出了非线性“跳跃理论”。M.施泰因等人在1962年以后的数年中研究了非线性前屈曲性能及其对于屈曲方程和临界压力的影响，他的研究成果肯定了小挠度理论的价值。

实际工程壳体中总存在缺陷，如波形缺陷和滑型缺陷等，它们都会影响稳定性。学者们在研究初始缺陷的基础上提出初始缺陷理论。这一理论可以较好地解释实际失稳临界值低于理论值这一现象。荷兰的W.T.科伊特在1945年提出非完善结构的稳定性准则，引出“初始缺陷敏感度”的概念。他的理论将缺陷敏感度与理想的完善结构的初始后屈曲性能联系起来，因而叫作初始后屈曲理论。这是一个普遍的非线性理论，包括判断临界点稳定性的充分和必要条件。

参考书目

1. 王俊奎、张志民编著：《钣壳的弯曲与稳定》，国防工业出版社，北京，1980。
2. S.P.铁摩辛柯、J.M.盖莱著，张福范译：《d性稳定性理论》，科学出版社，北京，1965。（S.P.Timoshenkoand J.M.Gere，Theory of Elastic Stability，McGraw-Hill，New York，1961.）
3. E.H.Baker，L.Kovalevsky and F.L.Rish，StructuralAnalysis，McGraw-Hill，New York，1972.