关于抛物型偏微分方程介绍

[拼音]：paowuxing pianweifen fangcheng

[外文]：partial differential equation of parabolic type

简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。

研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程

(1)

式中u是温度;Δ是拉普拉斯算符;α2是导温系数;；k是热传导系数；с、ρ分别是比热和密度；；F是外加热源密度。自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述，例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。

为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外，还必须知道物体Ω的初始温度（初始条件）和在它的边界嬠Ω上所受到的外界的影响(边界条件)。

初始条件：

(2)

边界条件，最通常的形式有三类。

第一边界条件（或称狄利克雷条件）：

(3)

即表面温度为已知函数。

第二边界条件（或称诺伊曼条件）：

(4)

式中n是嬠Ω的外法向，即通过表面的热量已知。

第三边界条件（或称罗宾条件）：

(5)式中α≥0；即物体表面给定热交换条件。

除了以上三类边界条件外还可以在边界嬠Ω上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。

方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题，根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。若Ω呏R3，则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。

基本解是点热源的影响函数。如果在t=0时刻在(ξ，η，ζ)处给定单位点热源，即u0(x，y，z，0)=δ(ξ，η，ζ)（δ是狄喇克函数），则当t>0时由它引起的在全空间 R3的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。通过傅里叶变换可以得到它的表达式。当t>0时

热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成

。

对于一个有界区域Ω，若边界温度为零，在初始时刻在(ξ，η，ζ)处给定一个单位点热源u(x，y，z，0)=δ(ξ，η，ζ)，当t>0时由它引起在Ω内的温度分布（即热传导方程的解）称为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作G(x-ξ，y-η，z-ζ，t)。根据格林公式

，式中l*是l的共轭算子，

任意第一边值问题(1)、(2)、(3)的解都可通过格林函数表为

；格林函数可以通过基本解来表示：

这里 时是一个定义在捙×[0，∞)上的充分光滑函数。对于一维问题或Ω为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法去求得。

一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中ƒ≥0），它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。事实上，还可以有更强的结论：

（1）如果在t=T时在Ω内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻T以前(即t<T时)整个物体的温度等于常数，这就是所谓的强极值原理；

（2）如果这个最低温度只在t=T时刻的某一边界点P达到，那么在这一点上(n是嬠Ω的外法向)，此即所谓的边界点引理。

极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用，它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。

至于初值问题(1)、(2)的解的惟一性，它与解在无穷远点的性态有关。如果对于初值问题(1)、(2)，附加上无穷远点增长阶的限制，这里A，M是任意给定正常数，那么由极值原理可以证明初值问题(1)、(2)的解必惟一。

若ƒ呏0，则由初值问题解的表达式可看出，若u0(x，y，z)有界连续，则初值问题(1)、(2)的解u(x，y，z，t)当t>0时都是无穷次连续可微的，而且关于空间变量x，y，z是解析的，关于时间变量t属于谢弗莱二类函数，即在｜x｜<ρ内满足

当ƒ扝0时，热传导方程解的可微性质与ƒ的性质有关，例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定ƒ(x，y，z，t)连续以外，还要求对x，y，z或对t是赫尔德连续的。

如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即)，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当t→∞时，不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布u(x，y，z)），它是椭圆边值问题：的解。

热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。如果边界温度为零，S(t)表示由初始时刻的温度场映到t时刻的温度场的线性解算子，即，由于热传导的不可逆性质，因此算子族具有半群性质：

（1）S(0)=I（I为恒同算子）；

（2）S(t+τ)=S(t)S(τ)t，τ≥0；

（3）。由泛函分析中的希尔-吉田定理，存在一个相应的无穷小生成子A，S(t)=e-tA，使得具有齐次边条件的第一边值问题(1)、(2)、(3)的解具有明显的表达式

，式中

。

设。二阶线性偏微分方程

(6)在区域Q内称为是抛物型的，如果存在常数α >0，使得对于任意ξ∈Rn，(x1，x2，…，xn，t)∈Q 有

。如果αij连续可微，那么(6)可改写为

(7)的形式。(7)称为具有散度形式的抛物型方程，(6)称为非散度形式的抛物型方程。当时，(6)与(7)是有区别的，不能互推。如果方程(6)、(7)中的系数和右端还依赖于u，墷u，则(6)和(7)称为拟线性抛物型方程。

抛物型方程和椭圆型方程的研究有相似的地方，它们互相影响、互为借鉴。椭圆型方程理论很多结果在抛物型方程中都有相应的定理，例如先验估计、极值原理等。

考虑在绝热过程中气体通过多孔介质的流动，这个过程可由下述方程来刻画：

，式中m>1，u是气体密度，通常研究它的非负解。由于当u=0时方程蜕化，因此它是一个拟线性蜕化抛物型方程。对于这个问题的系统理论研究是从 1957年开始的。解u的支集的边界是一条自由边界，通过自由边界u一般不连续，因此这个方程一般只存在在索伯列夫意义下的广义解，而且由于当u=0时方程蜕化为一阶方程，因此与热传导方程不同，扰动的传播速度是有限的。

形如

的半线性抛物型方程组叫做反应扩散方程组。除了研究各种定解问题外，由于(8)的解常具有行波解u(v·x－сt)以及当t→∞时 u(x，t)趋于椭圆型方程组相应的边值问题的解（称为平衡解）这样的性质，因此以研究平衡解的稳定性为核心的各种问题就构成了半线性抛物型方程（组）的定性理论（或叫几何理论）。