关于二次曲线束介绍

[拼音]：erci quxianshu

[外文]：pencil of conics

在射影平面内，两条二次曲线一般有四个公共点(包括实、虚或重合)，通过四个公共点的二次曲线的全体叫做二次曲线束。其中四个公共点叫做基点。若已知两条二次曲线S及的方程分别是 及，则过它们公共点的二次曲线束的方程可写作

，

式中(xi)是点的齐次射影坐标，λ是参数，每个数值λ，都对应着束中的一条曲线。 显然若S，

交于不同的四点，则束内一切曲线都过此四点；若S，切于一点，则束内一切曲线都在这点相切，因此束内一切曲线的相交、相切情况，都和S，的相交、相切的关系一样。根据四个基点的不同情况：四个相异点、单一切点、双重切点、三点重合、四点重合，相应地就有五种类型的二次曲线束(见

a～e)。在二次曲线束的方程中，令它的系数行列式Δ(λ)＝0，即得到一个关于λ的三次方程，由它的三个根（三个实根或一个实根二个虚根）可确定束中三条变态的二次曲线。假如四个基点是不同的实点，且其中没有三点共线，则此四点形成一个完全四点形(见图之a)，它的三组对边，就是束中的三条变态曲线。如已知其中两条变态二次曲线的方程是U1U2=0和U3U4=0其中，则二次曲线束的方程为。

设有一定点P(p1，p2，p3)，则P关于二次曲线束S1－ λS2=0的极线方程是，即。又若已知一直线l，在l上取二定点P(p1，p2，p3)和Q(q1，q2，q3)，则l关于二次曲线束的极点，应是P与Q二点的极线的交点。故有：

（1）一个定点关于二次曲线束所有曲线的极线，形成一个直线束；

（2）一条定直线关于二次曲线束所有曲线的极点，为一条二次曲线；可在定直线上取两点P及Q，且令，(α=1，2)，则P、Q两点关于二次曲线束的极线分别为A1－λA2=0，B1-λB2=0，消去参数λ，即为二次曲线。