关于数学物理中的反问题介绍

[拼音]：shuxue wuli zhong de fanwenti

[外文]：inverse problem in mathematical physics

在数学物理和工程技术中出现的偏微分方程问题，大体上可以分为两类。一类问题是对给定的偏微分方程定解问题，要求出问题的解或揭示解的某些性质。这类问题称为正问题，起着由因推果的作用，对它们的研究在理论和应用上都是比较成熟的，至今仍占着主导的地位。另一类问题是在所考察的偏微分方程定解问题中有不确定的因素，还须利用对解所获得的某些信息来推出方程中的未知系数或源项，决定一部分定解条件或刻画求解区域的形状等等。这类问题称为反问题，起着由果寻因的作用，对它们的研究目前虽然还很不成熟，但由于应用上的迫切需要，已愈来愈为人们所重视，成为当前相当活跃的研究课题。

在遥测和勘探技术中提出了大量的反问题。例如，在地球物理勘探中，通过地震波的测量来判断地球内部的结构或地下矿藏的位置;在无损探伤中，用红外线扫描来探测固体材料中的缺陷；通过测量地面上的牛顿引力势来推断地下金属矿藏的位置、形状和密度;利用X光分层扫描构像来作医学诊断等等，都是在研究对象不能达到或直接接触的情况下，利用特定的物理手段来取得有关解的某些信息，而化为数学上的反问题来处理的。工程技术中的定向设计及系统识别等方面的问题，都属于反问题的范畴。在量子物理中，利用散射资料来反推位势的反散射问题，也是一类有重要意义的反问题。

反问题的提法多种多样，且往往在经典的意义下是不适定的。为了求解各种不同形式的反问题，人们已经提出了一些有效的方法，如拉东变换、反散射方法、最优设计方法以及各种正则化方法等，但是还有很多问题有待进一步的研究。