关于域介绍

[拼音]：yu

[外文]：field

代数学中基本的概念之一。设 F是至少含有两个元素的一集合，在F上定义了两个（二元）运算，一个叫做加法，一个叫做乘法，它们都满足交换律、结合律，而且乘法对于加法有分配律；对于加法，F有零元素、每个元素有负元素；对于乘法，F有单位元素，除去零元素外，每个元素有逆元素，这样的代数结构就称为域。例如全体有理数、全体实数或全体复数在通常的运算下，都是域；又如全体形如的数，其中α、b是有理数，它们对加减乘除(零不作除数)是封闭的，因之也构成域。再如，取一素数p。考虑整数模p的全体剩余类，如果把通常的加法与乘法改成作完加法与乘法后，再取所在的同余类，那么在Fp上就定义了两个运算。由整数与素数的性质，容易验证，Fp是域。

域的概念是在19世纪代数学的发展中逐步形成并明确起来。在E.伽罗瓦研究方程的著作中就用到了域的概念。在J.W.R.戴德金与L.克罗内克关于代数数的著作里从不同的背景也提出了域的浮?。显然这样元素的全体构成 F的一个子域。这个子域可以与有理数域等同起来。这时称域 F的特征为零。

另一个可能是存在一最小的正整数p，使 pe=0。容易证明，这样的p一定是素数，而且此时{0，e，…，(p-1)e}，已经构成F的一个子域。这个子域可以与整数模p的域Fp等同起来。这时称域F的特征为p。

按照特征把域分成两大类:一类是特征为零的域;一类是特征为 p的域。这两类域在性质上有不少重要的差别。

研究域的一般方法是在域E中取定一个子域F作为基域，然后讨论扩域E相对于基域F的代数性质。E和F的关系记作E/F。E中包含F的子域叫做E/F的中间域。E/F的中间域可以如下产生:取定E的任一子集S。考虑一切有理分式， ，其中ƒ和g都是S中任意有限子集α1，α2，…，αr的多项式，而系数属于F。所有这种有理分式构成E/F的一个中间域，记为F(S)，称为S在F上生成的子域。若有限，则F(S)记为F(α1，α2，…，αr)，称之为有限生成的。特别由一个德国数学家H.韦伯开始的，他最著名的工作是证明了克罗内克定理（有理数域的任一阿贝尔扩张一定是一分圆域的子域）。稍后，戴德金和E.V.亨廷顿独立地给出了域的公理系统。在H.韦伯的影响下，E.施泰尼茨对抽象域进行了系统的研究。他的研究结果全写在他1910年的基本论文“域的代数理论”中。

如果F是域E的一个子集合，它在E的运算下也成一个域，那么域F就称为域E的一个子域，而域E称为域F的一个扩域。例如，有理数域是实数域的一个子域，而实数域是有理数域的一个扩域。

对于任意一个抽象的域F，考虑单位元素e生成的加法群，即{0，±e，±2e，±3e，…}。它有两个可能。如果对任意正整数n，ne≠0，也就是说，它是一个无限循环群。在这一情形，F包含所有的商ne/me，n、m为整数， m素α生成的子域F(α)，称为F上的单扩张。域扩张可分为代数扩张和超越扩张。

若 E的元素α是F上一个非零多项ƒ(x)的根，则α叫做F上的代数元域α在F上是代数的。否则，α叫做F上的超越元。以代数元α为根的多项式中必有惟一的一个首项系数为1的次数最低的多项式m(x)，叫做α的极小多项式。m(x)是F上的不可约多项式。此时 F(α)叫做F上的单代数扩张。F(α)和商环F[x]/(m(x))成F同构，即保持F的元素不动的环同构。若 E的全部元素都是F上的代数元，则E/F叫做一个代数扩张。不难证明，代数扩张有传递性，即若E/L和L/F都是代数扩张，则E/F也是代数扩张。从而可知，在任意域扩张K/F中代数元全体对四则运算是封闭的，即代数元的和、差、积、商(0不作除数)仍为代数元。因而K/F的全部代数元构成K/F的一个中间域E，叫做E在K内的代数闭包。此时每个元素α∈K但αE，在E上都是超越的。

E可以看作基域F上的线性空间，它的维数叫做E/F的次数，记成[E:F]。如果[E:F]有限，那么E/F叫做有限扩张。有限扩张都是代数扩张。若E/F是一个有限扩张，L为一个中间域，则次数公式[E:F]=[E:L]·[L:F]成立。

为了研究F上多项式的根的代数性质，需要把多项式的全部根放到同一个扩域中去考虑。当F 是有理数域时，则复数域能起这样的作用。这可以从历史上的代数基本定理导出。但是如果F是一个特征p>0的域，那么在此时复数域已无能为力，替代复数域的是多项式的分裂域。设ƒ(x)是F上一个次数>1的多项式，就在F上造一个扩域使得ƒ(x)在其中完全分解成一次因式的乘积。首先取ƒ(x)的一个不可约因子 p(x)，作商环F1=F[x]/(p(x))。F1是F上的一个扩域而且包含ƒ(x)的一个根α＝x＋(p(x))。然后，从F1出发，重复构造F1/F的办法，再作出一个域扩张F2/F1使之F2包含ƒ(x)的更多的根，如此继续下去，直到做出一个有限扩张E/F使得ƒ(x)在E内完全分解成一次因式的乘积。具有这种性质次数最低的扩域E/F，叫做ƒ(x)的一个分裂域。可以证明，ƒ(x)在F上的任意两个分裂域是成F同构的。因而除F同构不计外 ƒ(x)在F上的分裂域是惟一的。分裂域有一个重要的定性刻画。一个代数扩张E/F若有性质：“如果F上任一不可约多项式ƒ(x)在E中有一根，那么ƒ(x)在E内已能完全分解成一次因式的乘积”，则E/F就叫做F上的一个正规扩张。这样，分裂域可以刻画如下:一个有限扩张E/F为正规扩张的充分必要条件是，E/F为某个多项式在F上的分裂域。一个多项式的诸根间的代数性质，完全可以由它的分裂域E/F的代数性质反映出来。

下面引进的概念是和基域F的特征密切相关的。F上一个不可约多项式ƒ(x)的根的重数是在它的分裂域内计算的。由于分裂域的惟一性，根的重数概念是不依赖于分裂域的选取的，因而有确定的意义。但是一个不可约多项式ƒ(x)是否有重根的问题则是和基域的特征密切相关的。为了弄清它们的关系引进可分多项式的概念。若F[x]中一个不可约多项式ƒ(x)没有重根（重数＝1)，则ƒ(x)叫做F上的可分多项式。否则叫做F上不可分多项式。可分和不可分多项式的根分别叫做 F上的可分元和不可分元。若一个代数扩张E/F的元素在F上都是可分的，则F/F叫做可分扩张；否则叫做不可分扩张。特征为0的域上不可约多项式都是可分的，而当F的特征为素数时，则可能出现不可分多项式。例如 F=Fp(t)，Fp为p个元素的域，t在Fp上为超越元。Fp(t)为t的有理分式域，此时ƒ(x)=xp-t在F上不可约，但在它的分裂域中ƒ(x)却可分解成，其中θ是xp-t的一根。θ是一个p重根，因而xp-t是不可分的。和代数扩张情况一样，可分扩张也有传递性而且可分元素的和、差、积、商(0不作除数)都是可分的。因此任一代数扩张E/F包含一个由全部可分元组成的中间域ES，叫做F在E内的可分闭包。此时每个α∈E但αES在ES上都是不可分的，称E/ES为纯不可分扩张。应该指出，一个有限可分扩张E/F可以用一个元素α生成即E=F(α)，α叫做E/F的一个本原元素。有一类重要的特征为素数的域和特征为 0的域有相同的性质，它就是完全域。若域 F上所有不可约多项式都是可分的，则F叫做一个完全域。F是一个完全域，当且仅当F的特征为0或者F的特征为素数p而且F的每个元素在F 内可开p次方。

设E/F为一个任意域扩张，F[x1，x2，…，xr]为多元多项式环。若E的一个有限子集是F[x1，x2，…，xr]中某个非零多项式g(x1，x2，…，xr)的零点，即，则N叫做F上的代数相关集或在F上是代数相关的。否则N 叫做在F上的代数无关集或在F上是代数无关的。若E 的一个子集S的所有有限子集在F上都是代数无关的，则S叫做在F上是代数无关的或F上的代数无关集。E的一个子集S叫做E/F的一个超越基，是指S满足以下两个条件：

（1）S在F上代数无关；

（2）E是F(S)上的代数扩张。容易证明，任一非代数扩张E/F都有超越基而且任意两个超越基有相同的基数。这个共同的基数就叫做E/F的超越次数，记作trdegE/F。代数扩张的超越基是空集。它的超越次数规定为零。对于任一域链F嶅L嶅E，次数公式trdegE/F=trdegE/F+trdegL/F成立。

设trdegE/F>O ，若存在这样的超越基S使得E=F(S)，则E/F叫做一个纯超越扩张。纯超越扩张E=F(S)和F上一组未定元x的多项式环F[x]的商域F(x)成F同构，其中x与S有相同的基数。超越次数为1的纯超越扩张E=F(t)叫做单超越扩张。关于单超越扩张有著名的吕洛特定理：单超越扩张E=F(t)的每个大于F的中间域都还是F上的单超越扩张。

吕洛特定理有它的几何意义。平面上一条不可约代数曲线F(x，y)=0叫做有理的，是指存在参数t的有理函数φ(t)和ψ(t)满足以下两条件：

（1）除去t的有限个值外，恒有 ƒ(φ(t)，ψ(t))=0，②除去ƒ(x，y)=0的有限个点外对每个点 p(x，y)存在惟一的一个t值使得p=(φ(t)，ψ(t))。吕洛特定理断言，对不可约代数曲线ƒ（x，y）=0若存在参数t的有理函数φ(t)和ψ(t)满足条件①，则也存在参数t┡的有理函数 φ1(t┡)和ψ1(t┡)满足条件①和②。因而ƒ(x，y)=0是一条有理曲线。

若E/F有一个超越基S使得E是F(S)上的可分代数扩张，则E/F叫做可分生成的。显然纯超越扩张是可分生成的。若E/F的每个有限生成的中间域都是可分生成的，则E/F叫做一个可分扩张。关于可分扩张有下列事实成立：

（1）可分代数扩张就是现在意义下的可分扩张；

（2）纯超越扩张是可分代数扩张；

（3）可分扩张同可分代数扩张一样也有传递性；

（4）若E在F上是可分的，则任一中间域L在F上也可分。但是必须注意，从E/F可分得不出E/L可分的结论，这点与可分代数扩张是不同的。还应该指出，当trdegE/F无限时，可分扩张不必是可分生成的。

参考书目

1. 张禾瑞著：《近世代数基础》，人民教育出版社，北京，1978。B.L.范德瓦尔登著，丁石孙、曾肯成、郝炳新等译：《代数学》，第1册，科学出版社，北京，1963。(B.L.Waerden，Algebra ，Vol.1， Springer-Verlag，Berlin， 1955.)
2. N.Jacobson，Lectures in abstract Algebra，The Theory of Fields and Galois Theory， Vol. 3，Springer-Verlag， New York，1964.

参考文章

• 安全生产监督管理部门依法对本行政区域内安全生产工作实施综合监督管理，所以安全生产监督管理是安全生产监督管理部门的职责，与其他部门没有关系。法律题库
• 安全生产监督管理部门和对有关行业、领域的安全生产工作实施监督管理的部门，统称负有安全生产监督管理职责的部门。（）法律题库
• 根据《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》，实行党政领导干部任期安全生产责任制，日常工作依责尽职、发生事故依责追究。依法依规制定各有关部门安全生产权力和责任清单，尽职照单免责、失职照单问责。建立企业生产经营（）安全责任追溯制度。法律题库
• 根据《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》，建立健全安全生产法律法规立改废释工作协调机制。加强涉及安全生产相关法规（）审查，增强安全生产法制建设的系统性、可 *** 作性。法律题库
• 根据《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》，党政主要负责人是本地区安全生产第一责任人，班子其他成员对分管范围内的安全生产工作负（）责任。法律题库
• 根据《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》，（）统筹提出安全生产强制性国家标准立项计划，国务院标准化行政主管部门负责及时立项、编号、对外通报、批准并发布。法律题库
• 根据《消防法》，住宅区的（）应当对管理区域内的共用消防设施进行维护管理，提供消防安全防范服务。法律题库
• 根据《生产安全事故报告和调查处理条例》，特别重大事故以下等级事故，事故发生地与事故发生单位不在同一个县级以上行政区域的，由（）人民政府负责调查。法律题库
• 《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》指出，到2030年，（），全民安全文明素质全面提升，安全生产保障能力显著增强，为实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定稳固可靠的安全生产基础。法律题库
• 《中共中央国务院关于推进安全生产领域改革发展的意见》指出，到（）年，安全生产监管体制机制基本成熟，法律制度基本完善，全国生产安全事故总量明显减少，重特大生产安全事故频发势头得到有效遏制，安全生产整体水平与全面建成小康社会目标相适应。法律题库