关于序域介绍

[拼音]：xuyu

[外文]：ordered field

一种具有关系“>”的域F，其中正元素集{x∈F|x>0}在加法和乘法下封闭。常见的实数域就是一种序域，它除了具有域的结构外，还具有序结构，即实数的正负以及它们与代数运算的关系。

如果对一个域 F的元素能规定一种性质（称为“正性质”，记作>0）使之满足以下两个条件：

（1）对于F的每个元素α，必有而且仅有α=0，α>0，-α>0之一成立；

（2）若α>0，b>0，则有α+b>0和αb>0成立，那么F就被称为序域。常常以(F，>)表示由F以及“正性质”所确定的序域。(F，>)中满足α>0的元素α，称为(F，>)的正元素。对于(F，>)中任意二元素α、b，若有α-b>0，则规定α>b。对于同一个域，可以规定不同的“正性质”，从而得出不同的序域。下面有例子说明这一情形。

所谓形式实域，是指一个域 F，在其中不存在形如的等式，这里1是F的乘法单位元素，αi都取自F，即－1在F中不是平方和。因此，序域的特征只能是0，同时它又是一个形式实域。反之，对于形式实域至少可以规定一个“正性质”使其成为序域。所以，域F成为序域的充分必要条件是F为形式实域。

具有阿基米德“正性质”的域，称之为阿基米德序域。所谓阿基米德“正性质”即设 α是序域(F，>)的任何一个正元素，若对于(F，>)的每个正元素b，总能选择适当的自然数n（与b有关），使得nα>b成立。不满足这个要求的“正性质”，称为非阿基米德“正性质”。具有非阿基米德“正性质”的域，称为非阿基米德序域。依照这个分类，有理数域、实数域和实代数数域，按通常的大小关系作为“正性质”，它们都是序域；按阿基米德“正性质”，它们又都是阿基米德序域。实数域的子域也是阿基米德序域。反过来还可以证明，任何一个阿基米德序域都保序同构于实数域的一个子域。

设Q是有理数域，t是Q上的一个超越元。作纯超越扩张Q(t)，并对它的“正性质”规定如下：对于 Q中的数，“正性质”就是通常的大小关系；令t>0，对于每一正数α，都有α>t。这个规定可以延展到Q(t)的任何二元素之间，使得满足条件②，于是得到一个序域(Q(t)，>)。因为无论取什么自然数n都得不到nt>α，所以(Q(t)，>)是一个非阿基米德序域。

但是，还可以对Q(t)规定另一个“正性质”：对Q中的数，规定如前；而令t取超越数π的大小。这个“正性质”记作′>0，于是(Q(t)，′>)就是一个阿基米德序域。

若F是个形式实域，而F的任何代数扩张都不再是形式实域，则F称为实闭域。从任何一个形式实域F出发，先作出它的代数闭包Ω，使用佐恩引理，很容易知道在Ω中存在至少一个实闭域。它们都是F的扩张，所以又可称作F在Ω内的实闭扩张，一般来说，形式实域在它的代数闭包内的实闭扩张不是惟一的。

实数域和实代数数域都是实闭域。使实闭域成为序域的“正性质”是惟一的，但是具有惟一“正性质”的形式实域不一定都是实闭域，有理数域就是一例。对于实闭域可以作出许多刻画，其中之一是E.阿廷和O.施赖埃尔给出的著名定理：设F不是代数闭域。F成为实闭域的充分必要条件是，F的代数闭包Ω为F的有限扩张。

实闭域具有许多重要的性质，其中特别重要的一条是A.塔尔斯基的元数学原则，即代数上任何一条初等命题，如果在某一实闭域上成立，那么在其他实闭域上也同样成立。

序域和形式实域的理论，最初是由阿廷和施赖埃尔于1926年建立的。在这一理论的基础上，阿廷成功地解答了希尔伯特第17问题。

参考书目

1. A.Prestel，Lectures on ForMally Real Fields， Lect.Notes in Math. 1093，2nd ed.，Springer-Verlag， Berlin， 1984.
2. T.V.Lam，The Theory of Ordered Fields， in Ring Theory & Algebra，Proceedings of Algebra Conference at Univ.OklahoMa， 111，pp.1～152， 1980.