关于线性算子扰动理论介绍

关于线性算子扰动理论介绍,第1张

关于线性算子扰动理论介绍

[拼音]:xianxing suanzi raodong lilun

[外文]:perturbation theory for linear operators

研究算子在微小变动的情况下,它的各种性质变化的一种理论,始于20世纪20年代。为了研究振动系统受到微小扰动后的情况,人们利用反映扰动前系统的较简单的线性算子特征值问题的解,求出了反映经过扰动后算子特征值问题的近似解。E.薛定谔发展了类似的方法,深入地研究了量子力学中遇到的特征值问题,这就是量子力学中的微扰法。其后,一些数学家对这些微扰法中出现的级数的收敛性进行了一系列研究。与此同时,还研究了对于散射理论和量子场论有重要意义的连续谱的扰动。他们的工作启示人们进一步考察无界线性算子的各种扰动问题。线性算子扰动理论已发展为算子理论中引人瞩目的一个重要分支。

线性算子扰动理论的基本问题是:设T是巴拿赫空间上的线性算子,A是扰动算子,当T+AT在某种意义下很接近时,如何由T的性质导出T+A的相应性质?扰动理论中大量出现的是无界算子,这是因为经典力学和量子力学中出现的算子常常是无界的。薛定谔方程中出现的算子 就是无界算子 经过位势项U(x)扰动后得到的。

扰动理论主要包括以下几个方面的内容。

(1)讨论某些重要的算子类(例如闭算子类、自共轭算子类、弗雷德霍姆算子类等)在扰动下的不变性。关于闭算子的扰动,有下面的概念和结果:设TA是巴拿赫空间xY的两个线性算子,D(T)嶅D(A),且存在αb≥0,使得对x∈D(T),成立‖Ax‖≤αx‖+bTx‖,则称A关于T是相对有界的,而满足上式的b)的下确界称为A关于T的相对界。又若当{xn}和{Txn}均为有界时,{Axn}必有收敛子序列,则称A关于T是相对紧的。如果T是闭算子,而A关于T的相对界小于1,或者A关于T是相对紧的,而T+A也是闭算子。

(2)研究在小扰动下,对应的特征值和特征向量的扰动情况。这方面有下述基本结果:当T为巴拿赫空间上一个有界线性算子,而μ0为T的孤立的有限重特征值,它的重数是m,那么对ε>0,存在δ>0,使得当扰动算子A的范数小于δ时,算子T+A在圆{μ||μ-μ 0|<ε}中按重数计算恰好有 m个特征值。

(3)研究算子经过扰动以后,它的谱的变化情况。经常考虑的是在紧扰动下,谱的变化情况。这方面有下述的经典结果。

外尔-冯·诺伊曼定理 设H是可分的希尔伯特空间,AH上自共轭算子。对ε>0,存在自共轭的希尔伯特-施密特算子S,‖S‖2<ε,使A+S仅有纯点谱(指特征向量张成闭线性子空间是全空间)。

类似的结果,对正常算子也成立。另外,研究算子半群的生成元经过小扰动后,算子半群性态的变化,也是扰动理论的一个课题。

参考书目
  1. T.Kato,Perturbation Theory for Linear Operators,Springer-Verlag, New York, 1966.

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