关于积分不等式介绍

[拼音]：jifen budengshi

[外文]：integral inequality

分析数学中常用到下列积分不等式。

杨不等式

设ƒ(x)是定义在[0， A]上满足ƒ(0)=0的严格单调增加的连续函数，ƒ-1(y)是ƒ(x)的反函数，则对任何

α∈[0，A]，b∈[0，ƒ(A)]，

有

当且仅当ƒ(α)=b时，上式中等号成立(见图)。

特别，当ƒ(x)=xα(α>0)时，令

由杨不等式得到

当且仅当b=αp-1时，上式中等号成立。

赫尔德不等式

设(X，φ，μ)是测度空间(见测度论)，E ∈φ，ƒ(x)、g(x)分别在 E上p 次、q次可积，则 ƒ(x)g(x)在E上可积，并且

上式中等号成立当且仅当存在实数θ以及不全为零的实数с1和с2，使得等式

argƒ(x)g(x)=θ ， с1|ƒ(x)|p=с2|g(x)|q

在E上几乎处处成立。

由积分的赫尔德不等式立即可得级数的赫尔德不等式：设

式中p>1，q>1 ，则绝对收敛，并且

。

上式中等号成立当且仅当存在实数θ 以及不全为零的非负实数 с1 和 с2，使对一切自然数 n，argαnbn=θ，且

施瓦兹不等式

赫尔德不等式中用得最普遍的是p=q=2的情况，此时的赫尔德不等式称为施瓦兹不等式，有时也称为柯西不等式或布尼亚科夫斯基不等式。它的积分形式、级数形式分别为

上面两式中等号成立的充要条件分别是存在两个不全为零的常数с1和с2，使得

с1ƒ(x)=с2g(x)

在E上几乎处处成立和对一切自然数n，с1αn=с2bn。

闵科夫斯基不等式

设(X，φ，μ是测度空间，E∈φ，ƒ(x)，g(x)都是E上p次(p≥1)可积函数，则ƒ(x)+g(x)在E上p次可积，并且

。

当p>1时，上式中等号成立的充要条件是存在不全为零的非负实数с1和с2，使得

с1ƒ(x)=с2g(x)

在E上几乎处处成立；当p=1时，上式中等号成立的充要条件是，argƒ(x)=argg(x)在E上几乎处处成立。

由积分的闵科夫斯基不等式，可得级数的闵科夫斯基不等式：如果，p≥1，则

当p>1时，上式中等号成立当且仅当存在不全为零的非负实数с1和с2，使对一切自然数n，с1αn=с2bn；当p=1时，上式中等号成立当且仅当对一切自然数n，argαn=argbn。

延森不等式

设φ(x)是[α，b]上有限实函数，如果对任何x1，x2∈[α，b]以及任何正数p1、p2，都有

则称φ为[α，b]上的下凸函数。如果φ(x)是[α，b]上的下凸函数，则对任何x1，x2，…，xn∈[α，b]以及任何正数p1，p2，…，pn，有延森不等式：

积分形式的延森不等式:设φ(x)是[α，b]上的下凸函数，又设(X，φ，μ)是测度空间，E∈φ，p(x)是E上非负可积函数，并且，而ƒ(x)是E上可测函数，并且α≤ƒ(x)≤b，则

。