关于高斯光学介绍

[拼音]：Gaosi guangxue

[外文]：Gaussian optics

又称近轴光学，是几何光学中研究共轴光学系统近轴区成像规律的一个分支。1841年德国科学家C.F.高斯在其著作中阐明了有关理论。

基本概念

由透镜、反射镜等光学元件组成的系统，其中所有的折射面和反射面都是旋转对称面，并有一个共同的对称轴，称为光轴。一般常见的共轴光学系统中折射面和反射面都是球面（平面当作半径无穷大的球面看待），通过所有球面的球心的直线即光轴。

能产生清晰的、与物体完全相似的像的光学系统。下面用图1进一步说明。不讨论光学系统的内部结构，只用最前表面M和最后表面M┡ 示意代表一个系统，OO┡为其光轴。物空间的一条光线经过光学系统中一系列光学表面的折射（或反射）后进入像空间，这条像空间光线和对应的物空间光线称为一对共轭光线。由物点P1发出许多光线，如果系统是理想的，则像空间的所有共轭光线都通过同一点P姈。P姈是P1的清晰像点，它们互称共轭点，通过P1的垂轴平面和通过P姈的垂轴平面是一对共轭面。P1和P姈到光轴的距离分别为物高y1和像高y姈;像高与物高之比，即β＝y姈/y1称垂轴放大率。在同一对共轭面上任意一对共轭点（如P2、P1）都有相同的垂轴放大率，因此理想光学系统所成的像与物有完全相似的几何形状。

实际的光学系统一般都不具有理想成像性质，但如果只考虑靠近光轴的很小范围(称为近轴区)，则由于此范围内光线与光轴的夹角很小，其正弦值可用角值（单位为弧度）代替，任何共轴光学系统用单色光成像时就具有理想光学系统的性质。

高斯光学适用范围

高斯光学的理论和公式适用于共轴光学系统的近轴区；当这个系统是理想光学系统时，对近轴区和非近轴区都同样适用。通常遇到的系统虽然都不是真正的理想光学系统，但在光学设计过程中，各种像差都得到某种程度的校正，就一定的孔径和视场范围而言，系统接近于一个理想光学系统，因此高斯光学的计算结果（像的大小、成像位置等）对非近轴区也接近正确；当然，它与光线追迹结果或多或少有些差别，而这个差别正好能说明像差校正的完善程度。因此，高斯光学虽然只描述近轴区的成像性质，但在衡量非近轴区的成像状况和质量方面是必不可少的。特别是在光学系统初步设计阶段，高斯光学的理论和有关计算公式有其重要的实用意义。

学科内容

共轴光学系统的几个基点；过这些基点并垂直于光轴的平面，分别称作焦面、主面和节面。像方焦点F┡是物空间无穷远处光轴上物点的共轭点，凡是物空间中平行于光轴的光线都可认为来自无穷远轴上物点，因而其共轭光线通过F┡(图2)。与此类似，物方焦点F与像空间无穷远轴上点共轭，从物方焦点发出的光线经系统后，必平行于光轴射出。物方主点H和像方主点H┡是一对共轭点，而两个主面是共轭面，以垂轴放大率β=1为其特征。例如S是物空间光线在物方主面上的交点，S┡是其共轭光线在像方主面上的交点，由于β=1，S和S┡这一对共轭点等高（即到光轴的距离相等）。同理，图2中T和T┡也等高。

图2以最前表面M和最后表面 M┡代表一个内部结构可能相当复杂的光学系统；物空间媒质折射率 n和像空间媒质折射率n┡不一定相等。当F、F┡、H、H┡这几个基点的位置确定后，便可根据其性质用作图方法（或用与之等价的计算公式）求得任何物体的成像位置和像的大小，而不需顾及光线在各光学表面上实际发生的折射或反射。

高斯光学的方便之处就在于处理成像问题时可以仅用基点和基面完全代替实际的光学系统。具体作图方法如图2所示，箭头PQ代表物体，过P点作一条平行于光轴的光线，交物方主面于S，根据它的共轭光线通过F┡，以及S、S┡等高这两个条件画出共轭光线。另作一条通过P和物方焦点F的光线与物方主面交于T，根据它的共轭光线平行于光轴以及T、T┡等高这两个条件画出共轭光线。两条共轭光线交于P┡，从而确定了PQ的像P┡Q┡的位置和大小。

物方节点J和像方节点J┡也是一对共轭点，其特点是通过J的光线与通过J┡的共轭光线互相平行。根据节点的这一性质很容易用作图方法求得物体的像（图3）。

物空间中乘积 nuy和像空间中相应的乘积n┡u┡y┡数值相等，这一乘积称为拉格朗日不变量。u和u┡是通过一对轴上共轭点的共轭光线与光轴的夹角，比值u┡/u称为角放大率。由nuy=n┡u┡y┡得到角放大率γ与垂轴放大率β的关系式

。 (1)

现以节点为例，说明公式的应用。通过节点J和J┡的共轭光线互相平行（图3），因此u┡=u，即γ＝1，代入式(1)，得β=n/n┡即像方节面与物方节面之间的垂轴放大率等于n/n┡。如果物空间和像空间媒质相同（在一般情况下都是空气），n＝n┡，则节面之间垂轴放大率β＝1，这正好是主面特有的性质，所以在这种情况下，节面也就是主面，J、J┡分别与H、H┡重合。

物方焦距f是由H到F的距离（图2）;像方焦距f┡是由H┡到F┡的距离。焦点在主点之左时，焦距为负；反之，为正。图2、图3况，f<0，f┡>0 。

光焦度的定义式为

。 (2)

光焦度嗞 的数值大小代表光学系统使光束会聚(或发散)的能力大小。使光束会聚的系统有正的f┡，是正光焦度系统，最简单的例子是一片凸透镜(图4)，也称正透镜。使光束发散的系统有负的f┡，是负光焦度系统，最简单的例子是一片凹透镜（如近视眼镜片），也称负透镜。

由式(2)得f┡/f＝-n┡/n，在通常n＝n┡的情况下，f与f┡数值相等，符号相反。

一种描述物像关系的公式;可直接由图2中相似三角形关系导出

， (3)

以及

。 (4)

式(3)用来计算像的大小；式(4)用于计算成像位置。焦物距x是由轴上物点到物方焦点F的距离，焦像距x┡是由像点到像方焦点F┡的距离。它们分别以相应焦点为原点来决定其正负。在焦点之左时为负，反之为正。物高y和像高y┡的符号以光轴上为正，光轴下为负，如图2中y正y┡负，β<0，为倒像。

描述物像关系的另一种公式

， (5)

以及

， (6)

l是以物方主点H为原点时的物距（图3），l┡是以像方主点H┡为原点时的像距，符号均按左负右正惯例。x与l 之间，x┡与l┡之间有关系：x＝l-f和x┡＝l'f┡，据此，很容易由牛顿公式导出高斯公式。

对一个光学系统使用牛顿公式或高斯公式之前，必须求出其基点位置；通常用近轴光线追迹的办法解决；但对某些简单系统可利用一些现成公式。例如空气中的透镜，其材料折射率为n，两个球面曲率半径为R1和R2(球心在球面顶点右面时曲率半径取正值)，若透镜厚度很小，可以忽略，则透镜焦距可用下式计算

。 (7)

设某一透镜R1=60，R2=-100，n=1.5，由式(7)得f┡＝75。比较薄的透镜的主点 H、H┡可近似认为与透镜顶点重合，于是 F、H、H┡和F┡的位置都已确定 (图4)。设物距l＝-50，以n＝n┡＝1（透镜两边媒质都是空气），f┡= 75代入式(6)，得像距l┡=-150（虚像），再用式(5)得垂轴放大率β＝3。

如果用牛顿公式计算，则以x＝l-f＝25代入式(4)得x┡=-225（由F┡到虚像的距离），再用式(3)得β＝3。