关于线汇论介绍

[拼音]：xianhuilun

[外文]：theory of rectilinear congruences

三维欧氏空间由二参变数(u，v)定义的具有二个自由度的直线全体｛l(u，v)｝称为直线汇或简称线汇， 各直线称为光线。这方面理论发端于1828、1830年W.R.哈密顿的研究。1860年E.E.库默尔仿效曲面论的方法取定一个参考曲面，使每条光线l(u，v)和它相交于点x(u，v)，而且采用l(u，v)的单位向量n( u，v)以代替曲面的法线，于此，他作出dn2和dxdn这二个二次微分形式，并按照同曲面论一样的步骤展开了线汇的系统的论述，从而基本上获得了线汇的重要元素。但是，在参考曲面的选择上存在着不惟一性的缺点，所以，G.桑尼亚(1908)对此加以改善，保留E.E.库默尔的第一基本形式

而重新作出新形式，用以取代第二基本形式，这里dσ和dr分别表示线汇的二邻近光线l(u，v)，l┡(u+du，v+dv)间的交角和最短距离，这样，线汇论基本定理就如同曲面论中一样，被完备无缺地建立起来了。

在讨论线汇论的方法中，特别要提出的是W.J.E.布拉什克利用E.施图迪的推移原理和W.K.克利福德的对偶数而作成的创建。下面将简述“对偶点”与桑尼亚基本形式间的关系。

按照E.斯图迪的理论说来，直线几何是可以移到作为二维球面上的几何而对之进行研究的。为此，将运用被称为“对偶数”的数系。普通的复数有两个单位1，i，其中i2=-1，而且一般形式是α+ib)，式中α，b都是实数。对偶数的一般形式则是α+εb，其中新单位ε 满足关系式ε2=0。对偶数满足乘法交换律，但是因子定理则不成立。换言之，二对偶数的积等于零时，各因子可以不是零。例如，设α·b≠0，εα·εb=0就是例子。可以普通复数的方法定义对偶数的正则函数。比如：从

得出

cos(α +εβ)=cos α-εβ sin α 。

设一直线l是由其上二点p(x)和圴(塣)决定的。这里x表示p的位置向量，等等。令

，

式中ρ≠0是待定的实数，“×”表示向量积，这二向量的六个分量恰恰代表直线l的普吕克坐标，它们必须满足恒等式(X，)=0。现在选取ρ使得X2=1，那么X表示直线l的单位向量。

根据斯图迪理论导入一个“对偶向量”：ξ＝X+ε塣，使之和直线l一一对应，从上述关系立即得出ξ2=1。所以(ξ)表示单位球上的一个“对偶点”，这样，三维空间的直线被表示为单位球上的对偶点。

设一个线汇的光线l(u，v)所对应的对偶点为，那么在单位球上所作的“对偶线素”dξ2，是在对偶旋转下的不变形式，而且实际上，它的实部分和对偶部分恰恰分别是桑尼亚的第一和第二基本形式。

。

一个曲面的所有法线构成的线汇称为法线汇，它有如下的重要性质，被称为几何光学的基本定理，即

马吕斯－迪潘定理 任意法线汇的光线经有限回关于曲面的反射或屈射后，仍然保持其为法线汇的性质。

也可以用仿射和射影的观点来研究线汇。

参考书目

1. 苏步青著：《微分几何学》，正中书局，重庆，1948。
2. W.Blaschke，Vorlesungen ╇ber Differentiαl Geometrie，Aufl.3，Bd.1，Verlag von Julius Springer，Berlin， 1923.