关于守恒格式介绍

[拼音]：shouheng geshi

[外文]：conservative scheme

一类差分格式。如果差分格式的解满足微分方程所描述的守恒律的离散模型，就称它是该微分方程的守恒格式。

描述d 维空间 Rd 中的一个区域Ω内、在时间间隔[0，T]上物理量U(尣，t)的守恒性质，一般可以用积分关系式表示为

式中F是一个d维向量，表示流量，它的每一个分量都是U(包括它的导数)的函数，有时还依赖于尣和t；Q 是源项；嬠ω是ω的边界；n是ω 的外法线方向。当U 和F充分光滑时，积分关系式(1)与微分方程

(2)

是等价的。这种形式的方程称为守恒律，在物理学、力学及其他各门学科的研究中经常碰到。例如在笛卡儿直角坐标系中，非定常可压缩理想流体力学方程就是一组描述质量、动量、能量守恒的守恒律，即

式中ρ、u、p、E分别表示密度、速度、压力、总能量，l是单位张量。又如描述热量守恒的热传导方程

(3)

也是一个守恒律，其中U＝сvT，сv是定容比热，T是温度；流量F=-kgradT依赖于T 的导数，k是热传导系数。如果方程(3)中的未知量T不依赖于时间t，即方程左端等于零，可得描述定常问题的椭圆型方程。

守恒格式一般是从积分守恒关系式(1)出发，利用积分插值方法建立起来的。首先将区域Ω剖分为一组子区域{ωj}。取(1)中的积分区域ω为任一ωj，t2＝t1+Δt。然后将(1)中的积分用离散化的近似公式代替。如果 ωj与ωj是两个相邻的子区域，它们的边界就有共同的部分Γij。当Γij 作为ωj的边界和作为ωj的边界时，其上的外法线方向n正好相反，所以当时，流量离散化以后的表达式应该只差一个负号。这意味着从一个子区域流出的物理量全部流入相邻的子区域，因而保持了守恒的性质，这样就得到守恒格式。

一维(d＝1)守恒律的守恒格式的一般形式为

，

式中α、β均取闭区间[0，1]上的值，，是和相容的。对于二维(d＝2)问题的守恒格式，以抛物型方程

为例。将方程(4)在时间间隔[tn，tn+1]和空间区域ω上积分，就得等价的积分守恒关系式(1)，式中

。

取ω为

和

四条直线所围成的矩形，然后用近似积分公式得出

式中

而可取作

或其他近似式。椭圆型方程的守恒格式可类似地得出。

守恒格式的优点在于它的解能比较好地反映物理量基本的守恒性质。同时，由于守恒格式可以看作是从积分守恒关系式(1)出发建立的，对于间断解，微分方程(2)是不成立的，但是积分关系式(1)仍然满足，因此用守恒格式来计算间断解往往不失为一种有效的方法。

参考书目

1. 冯康等编：《数值计算方法》，国防工业出版社，北京，1978。