韦达定理是什么？

韦达定理是说明一元二次方程中根和系数之间关系的定理，由弗朗索瓦·韦达提出。韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。该定理最重要的贡献是对代数学的推进，最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n=2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理是一元二次方程中的内容，是由求根公式推理出来的，我们再来简单地回顾一下。求根公式是这样描述的：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的表达式为：

我们将两个根分别相加和相乘后，就得到了韦达定理：

韦达定理反应的是根和系数之间的关系，而根和系数，是一元二次方程的全部内容。考察的时候，要么考察根的情况，要么考察系数的情况。如果要把根和系数结合起来考察，那就少不了韦达定理在中间做“红娘”了。

韦达定理在每年的考试中出题比例较低，一般是和其他知识点结合着考察，直接考察韦达定理的几乎没有，一般考察韦达定理的变式的比较多。今天我们就把常见的几种考察形式和常见的一些考察题型给大家列出来，让大家把这块的内容学扎实了。

首先来一道比较综合的题吧，几乎涉及到了韦达定理的绝大部分变式。看题：

这道题没有直接考察两根之和与两根之积，而是写成了两个根的复杂变式，那要想用到韦达定理，就要把变式进行改变，变成两根之和与两根之积的形式。然后再运用韦达定理，就可以直接带入了。

首先，我们根据韦达定理，得出根与系数的关系为：

然后我们把四个变式通过变换，变换成我们需要的形式：

上面是直接考察韦达定理的变式的问题，比较简单粗暴，是我们刚开始学习韦达定理时必须要经历的做题过程。

但实际上，真正考察韦达定理的题，会比较绕一些。比如我们不直接求两根变式的值，我们反过来求方程中未知量的值，或者求未知量的取值范围，或者根据未知量来求根的正负性等问题。下面我们分别来看几道题。

这道题比较简单，先撂出韦达定理：

代入到题中的式子中，得：

由此，我们可以得出，m=-8。很多学生以为到这里，就结束了，实际上也真的是结束了，做完了（那李老师，你到底要说啥？）。但这里，我们其实缺少一种意识，就是忘了考虑判别式。因为题中说，方程的两根啥啥啥的，意思就是方程有两个根，相等不相等不知道，但有两个根，那我们首先就要想到判别式大于等于0，于是有：

这里其实m是任意实数都可以，没有再求出m的一个限制条件，所以求判别式大于等于0其实是多此一举。但我们一定要有这种意识，一定要把判别式考虑进去，因为有时候很多题就含有这种隐藏条件，你要是一个不小心，忽略了，那就出错啦！