同余定理口诀

1、对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。2、对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。3、对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。4、对于同一个除数，如果两个数同余，那么他们的乘方仍然同余。

理论背景：

数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说x-n，x，x+n都是平方数。十三世纪，意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数，他也猜想1、2、3不是同余数，但未能给出证明。直到1659年，法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是同余数。十八世纪，大数学家欧拉首次证明了7是同余数。1952年，Heegner证明了任意模8余5、7的素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。2000年，美国克雷数学研究所公布了千禧年七大数学难题，每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想（全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。2012年，田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，这是在同余数问题上的一个根本性突破，也首次给出了解决BSD猜想的线索。