七桥问题可解吗

七桥问题有解吗?（七桥问题）

七桥问题(七桥问题有解决方法吗？)

七桥问题

1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院提交了论文《哥尼斯堡的七座桥》。在回答问题的同时，他创建了一个新的数学分支——图论和几何拓扑，并由此在数学史上展开了一门新的课程。“七桥”问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷尝试，但在很长一段时间内，始终没有解决。通过对七座桥的研究，欧拉不仅成功地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，还得出了并证明了关于一个笔画的三个更广泛的结论，通常称为“欧拉的F”

18世纪著名的经典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将弗里茨普雷格尔河中的两个岛和岛与河岸连接起来(如图)。问:有没有可能从这四个地中的任何一个出发，每座桥只过一次，然后回到起点？欧拉在1736年研究并解决了这个问题。他把问题归结为右图所示的“一笔”问题，证明了上述方法是不可能的。

七桥问题

图论研究的热点问题。在18世纪初的普鲁士哥尼斯堡，有一条渡河，河上有两个小岛。七座桥将两个岛与河岸连接起来(如右上图所示)。一个人问了一个问题:一个行者如何一次走完七座桥，不重复不遗漏，最后回到起点？后来大数学家欧拉把它变成了几何问题(如左图)——笔画问题。他不仅解决了这个问题，而且给出了连通图可以画一笔的充要条件:奇点的个数不是零就是两个(如果连通点的个数是奇数，则称为奇点；如果是偶数，那就是偶数。如果要画笔画，中间点必须是偶数，也就是必须有另一条路，奇点只能在两端，所以任何图形都可以画笔画，奇点要么不存在，要么在两端)。

推理方法

1736年欧拉访问普鲁士哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)时，发现当地市民正在从事一项非常有趣的消遣活动。哥尼斯堡有一条名为Pregel的河流贯穿其中。这种有趣的消遣是在星期六步行穿过所有七座桥。每座桥只能通过一次，起点和终点必须是同一个地方。

欧拉把每一片土地看作一个点，连接两块土地的桥梁用一条线来表示。

后来得出结论，这样的举动是不可能的。他的论点是，除了起点，一个人每通过一座桥进入一片土地(或点)，他(或她)就同时通过另一座桥离开这个点。所以你每经过一个点就计算两座桥(或线)，从起点离开的线和最后回到起点的线也计算两座桥，所以每块地与其他地连接的桥数必须是偶数。

存在的问题

桥形成的图形都不含偶数，所以上述任务无法完成。

著名数学家欧拉的肖像

欧拉的考虑很重要，很巧妙。体现了数学家处理实际问题的独特性——将一个实际问题抽象成一个合适的“数学模型”。这种研究方法被称为“数学模型法”。不需要用什么高深的理论，但是想到这一点才是解决问题的关键。

接下来，欧拉以图中的一杆定理为判据，很快判断出不重复就不可能通过哥尼斯堡的七座桥。也就是说，多少年来，人们苦心寻找的不重复路线根本就不存在。一个曾经难倒那么多人的问题，竟然是这样一个出人意料的答案！

决赛成绩

初始问题

问题提出后，很多人对此非常感兴趣，纷纷进行实验，但在很长一段时间内，仍未解决。利用数学的一般知识，每座桥走一次，所以七座桥总共有5040种走法，要一一尝试，工作量会很大。但是怎样才能找到一条路线，不重复地成功穿过每一座桥呢？于是，著名的“哥尼斯堡七桥问题”就形成了。

问题的最新进展

1735年，几个大学生写信给当时正在俄罗斯彼得堡科学院工作的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这个问题。在亲自观察了哥尼斯堡的七桥之后，欧拉认真思考了要走的路，但始终没有成功，于是他想知道七桥问题是否无解。

1736年，经过一年的研究，29岁的欧拉提交了论文《哥尼斯堡的七座桥》，成功地解决了这个问题，开创了数学的一个新分支 # 8212；图论。

在论文中，欧拉把七座桥的问题抽象出来，把每一片陆地看作一个点，连接两个陆地的桥用一条线来表示。由此得到如图所示的几何图形。如果我们用A、B、C、D四个点来代表哥尼斯堡的四个区域。这样一个著名的“七桥问题”就变成了七条线能不能不重复画出来的问题。如果能画出来，图形中一定有终点和起点，起点和终点应该是一样的。由于对称性，可以知道起点是B还是C，效果是一样的。如果假设A是起点和终点，那么一定有一条出发线和一条对应的进入线。如果我们定义进入A的行数为入口，离开的行数为出口，与A相关的行数为A的度数，那么A的出口和入口是相等的。也就是说，如果从A出发有解，那么A的次数应该是偶数，但实际上A的次数是5，是奇数，所以从A出发没有解，同时，如果从B或者D出发，因为B和D的次数分别是3和3，所以都是奇数，也就是说没有从它们出发的解。

七桥问题

从以上原因可以看出，抽象的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。

由此，我们得到:欧拉路径关系。

由此我们可以看出，要做出一个人物笔画，必须满足以下两个条件:

1.图形必须连接。

2.图中“奇点”的数量为0或2。

我们还可以检查图形是否可以一笔画出。回过头来看，也可以由此判断“七桥问题”。这四个点都是奇点，所以我们可以看到，图形是无法一笔画出的，也就是说，没有办法不重复地穿过所有七座桥。

1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的论文报告《哥尼斯堡的七座桥》中解释了他的解题方法。他巧妙的解决方案为一个新的数学分支——拓扑学的建立奠定了基础。

七桥问题与欧拉定理

通过对七座桥的研究，欧拉不仅成功地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，还得出了并证明了关于一笔画的三个更为广泛的结论，人们通常称之为欧拉定理。对于连通图，一个笔画从一个节点开始的路线通常称为欧拉路。人们通常把回到起点的欧拉路称为欧拉路径。具有欧拉路径的图称为欧拉图。