低通信号的采样与重建及SystemView仿真

低通信号的采样与重建及SystemView仿真

抽样定理是模拟信号数字化传输的理论基础，是通信原理中最经典和最重要的定理。所谓的信号抽样就是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号xa(t)"抽取"一系列的离散值，这种信号通常称为"抽样信号"，本文以x(t)表示，显然其数学模型可以简化为脉冲序列与原连续信号的乘积形式。

1 时域抽样定理及其讨论

令连续信号xa(t)的傅里叶变换为xa(jω)，抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为p(jω)，抽样后的信号x(t)的傅里叶变换为x(jω)。若采用均匀抽样，抽样周期为ts,抽样频率为ωs=2πf，由前面分析可知：抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成，即满足：

式(6)其表明：信号在时域被抽样后，他的频谱x(jω)是连续信号频谱xa(jω)的形状以抽样频率ωs为间隔周期重复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数pn加权。因为pn只是n的函数，所以xa(jω)在重复的过程中不会使其形状发生变化。

假定信号xa(t)的频谱限制在一ωm～+ωm的范围内，若以间隔ts对xa(t)进行抽样，由式(6)可知抽样信号x(t)的频谱x(jω)是以ωs为周期重复。显然，若在抽样的过程中ωs<2ωm，则x(jω)将发生频谱混叠现象，只有在抽样的过程中满足ωs≥2ωm条件，x(jω)才不会产生频谱的混叠，接收端完全可以由x(t)恢复原连续信号xa(t)，这就是低通信号抽样定理的核心内容。

2 信号的重建

从频域看，设信号最高频率不超过折叠频率：

式(10)表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率，连续时间函数xa(t)就可用他的取样值xa(nt)来表达而不损失任何信息。这时只要把每一个取样瞬时值与式(9)相乘求和即可得出xa(t)，在每一取样点上，由于只有该取样值所对应的内插函数式(9)不为零，所以各个取样点上的信号值不变，而取样点之间的信号由式(10)构成。

3 低通信号抽样定理在systemview上的仿真

前面分析表明要传输模拟信号不一定传输模拟信号本身，只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。图1所示是低通信号采样与重建的原理图。

由原理图建立对应的systemview仿真电路如图1所示，图中被采样的模拟信号源是幅度为1 v，频率为100 hz的正弦波，抽样脉冲为脉宽为1μs矩形脉冲。样器用乘法器替代。为验证信号抽样与恢复不失真的条件，分别选取了10ohz，200hz，1000 hz等不同的抽样频率，对原输入信号波形与抽样恢复后的波形进行观察和分析，从而直观地验证低通信号抽样定理。

图2中图符1o为正弦信号源。图符1和4为基带多相低通滤波器，对待传输的信号进行滤波，以减少实际发射占用的带宽，在论文中设置其参数为3阶、截止频率为100 hz的巴特沃斯低通iir滤波器。图符8和9是倍数为1的增益，对输入信号进行放大。图符2为乘法器。图符3为抽样脉冲，产生具有特定的幅度和频率的周期性脉冲串。通过改变图符3中频率参数，即相当于改变采样频率fs。fs分别设置为100，200，1000 hz得到仿真结果如图3～图6所示。

通过仿真结果的对照，表明采样频率为1000hz 时抽样信号恢复的效果最好，基本能得到与原信号相同的波形。由此直观地证明了抽样定理的正确性：抽样信号在fs≥2fm的条件下可以重建原信号；抽样信号频率越高重建效果越好；由于抽样信号的频谱是原信号频谱的周期性的延拓。所以，只要通过一个截止频率为fc(fm≤fc≤fs-fm)的低通滤波器就能恢复出原信号。

4 结 语

本文对抽样定理进行了详细的理论推导，得到了低通信号的采样与信号恢复的条件。理论推导表明实际抽样中所得信号频谱与理想取样的频谱结构十分相似，只是幅度变化规律不一样，只要满足抽样定理从抽样信号都能正确恢复原始连续信号，运用systemview软件建立信号的采样与重建的动态仿真模型，采用逐步提高采样频率的方法，从而得到一系列的仿真结果，直观地验证了低通信号的抽样定理的正确性。