布洛赫定理是什么

表述形式1对于周期性势场，即其中取布拉维格子的所有格矢，单电子薛定谔方程的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即且对取布拉维格子的所有格矢成立。表述形式2从以上2式可以看出，布洛赫定理亦可表述为对上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢，使得对属于布拉维格子的所有格矢成立。布洛赫电子遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波函数描述的电子称为布洛赫电子（Bloch electron）。[1]

布洛赫定理是近代固体物理学能带理论的基础。

布洛赫定理解释如下。

平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。

从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。

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