物理中“简并”是什么含义？或者还有数学解释。

简并就是一个能级对应于一个能量本征值非简并就是一个能级对应于多个能量本征值参见<量子力学教程 曾谨言著>P78在量子力学中，状态和能级这两个术语有着不同的含义。状态是用波函数表示的，每个不同的波函数就是一个不同的状态。能级是用给定的能量数值表示的，每个不同的能量值就是一个不同的能级。若一个能级与一种以上的状态相对应，则称之为简并能级，属于同一能级的不同状态的数目称为该能级的简并度。在氢原子中，每个能级之下有n2个独立的状态，即简并度为n2。例如：n=2时，有ψ2s、ψ2px、ψ2py和ψ2pz共4个独立状态，简并度为4。 分子生物学中,同一种氨基酸具有两个或更多个密码子的现象称为密码子的简并性（degeneracy）。对应于同一种氨基酸的不同密码子称为同义密码子（synonymous codon），只有色氨酸与甲硫氨酸仅有1个密码子。密码子简并性具有重要的生物学意义，它可以减少有害突变。若每种氨基酸只有一个密码子，61个密码子中只有20个是有意义的，各对应于一种氨基酸。剩下41个密码子都无氨基酸所对应，将导致肽链合成终止。由基因突变而引起肽链合成终止的概率也会大大增加。简并性使得那些即使密码子中碱基被改变，仍然能编码原来氨基酸的可能性大为提高。密码的简并也使DNA分子上碱基组成有较大余地的变动，例如细菌DNA中G+C含量变动很大，但不同G+C含量的细菌却可以编码出相同的多肽链。所以遗传密码的简并性在物种的稳定上起着重要的作用。简并度具有相同能量的粒子可以处在不同的量子态（即不同的波函数），即每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代某一能级的谱线常常是由好几条非常接近的精细谱线所组成。 量子力学中把能级可能有的微观状态称为该能级的简并度，用符号g表示。简并度亦被称为退化度或统计权重。

根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计率。对于一个能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率为f(E)称为电子的费米分布函数。式子中的 称为费米能级或费米能量，它和温度、半导体材料的导电类型、杂质含量以及能量零点的选取有关。它可以由半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于电子总数来决定，即由统计理论证明，费米能级 是系统的化学势，即式子中， 代表系统的化学势，F是系统的自由能。上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外作功的情况下，系统增加一个电子所引起系统自由能的变化等于系统的化学势，处于热平衡的系统由统一的化学势，因此费米能级是统一的。 当T>0K时，上述结果说明，系统温度一定的情况下，如果量子态的能量比费米能级低，则概率大；反之则小。在温度为0K时电子全部分布在费米能级以下的量子态；温度不是很高时大于费米能级的量子态几乎没有电子分布。 如果我们让 ，那么会有这时候，令 ，则我们有这就是玻尔兹曼分布函数，在电子能量远大于费米能级的时候，费米分布近似为玻尔兹曼分布。对于空穴， 就是空穴的分布函数，类似的有这里表示的与电子相反，费米能级以上空穴分布多，以下分布少。 在半导体中最常遇到的是费米能级位于禁带内，故价带空穴、导带电子满足近似条件，可以用玻尔兹曼分布来计算它们的统计分布。 通常把服从玻尔兹曼统计律的电子系统称为非简并性系统，服从费米统计律的电子系统称为简并性系统。 这里首先利用推导出来的式子：这里分别表示表示电子和空穴导带底/价带顶附近的状态密度。利用:以及近似条件可得V内电子浓度 ，空穴浓度 为这里 ， 分别称为导带的有效状态密度和价带有效状态密度。 相乘后得到 的表达式为：可见，电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关，对于一定的半导体材料，乘积只取决于温度T，与所含杂质无关。且在一定温度下，达到热平衡后乘积保持恒定。 本征半导体无杂质，因此电子和空穴成对出现。根据空穴浓度等于电子浓度有：其中 为本征半导体的费米能级。 一般温度下 不是特别的大，但结合上边式子，我们可以看出，随着温度的升高， 会迅速增大。因此 半导体对温度的敏感性很高。在实际中，半导体会有一个极限工作温度，超过这个温度会使得器件失效。一般杂质浓度高、带隙大的半导体极限温度会高。 首先杂质能级与能带中的能级有区别，施主杂质能级只能是：1、被一个有任意自旋的电子占据；2、不接受电子。施主能级不允许同时被自旋方向相反的两个电子所占据，所以不能套用玻色分布来表征统计分布。可以推导出的式子如下： 是施主杂质的基态简并度， 是受主能级的基态简并度，通常称为简并因子。 下边是分析杂质半导体时的一些参量：分析基础：（1）低温弱电离区：大部分施主杂质仍为电子占据，只有很少的施主杂质发生电离，少数施主杂质进入导带。但这个时候仍然是施主杂质提供的导带电子更多，因此本征激发的那部分可以忽略。有（2）强电离区（饱和区）：大部分杂质都几乎电离，即 ，此时， 。所以这时候有：注意，严格来说，室温下，杂质浓度比本征载流子浓度大一个数量级以上才能认为保持以杂质电离为主的情况。 （3）过渡区（4）高温本征激发区：此时本征激发的载流子数远多于杂质电离产生的载流子数。杂质浓度越高这个温度也越高。 （1）低温弱电离区：（2）强电离区（饱和区）（3）过渡区随着温度升高，n型半导体的费米能级从靠近施主杂质能级不断下移到禁带中线处；p型半导体的费米能级从靠近受主杂质能级不断上移到禁带中线处。而载流子则从以受主电离为主转化到以本征激发为主要来源。当温度一定，费米能级的位置有杂质浓度决定。这说明杂质半导体中，费米能级的位置不仅反映了半导体的导电类型，而且反映了半导体的掺杂水平。

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