导数等于零是函数取得极值的必要条件这句话哪里错了?

函数取得极值，有可能导数为0或者导数不存在，也就是所谓的尖导数等于0，也不一定说明函数取得极值，比如y=x³，在x=0处的导数为0，但它是单增函数所以导数等于0和函数取得极值这两个命题没有必然的联系，严格来说，应该是：函数在某点处导数等于0且该点两侧导数异号是函数在该点取得极值的充分条件

根据德尔塔进行判断。

设：二元函数 f(x，y)的稳定点为：(x0，y0)，

即：∂f(x0，y0)/∂x = ∂f(x0，y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0，y0)/∂x²

B=∂²f(x0，y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0，y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

(1) A<0，f(x0，y0) 为极大值；

(2) A>0，f(x0，y0) 为极小值；

如果：∆<0 不是极值；

如果：∆=0 需进一步判断。

举一例：f(x，y)=x²+y²，其稳定点为：(0，0)。A=2，B=0，C=2 ∆=4>0

f(0，0)=0 为最小值！

对于多元函数，同样存在极值点的概念。此外，也有鞍点的概念。

计算步骤

求极大极小值步骤

（1）求导数f'(x)；

（2）求方程f'(x)=0的根；

（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

特别注意

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

求极值点步骤

（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

（3）上述所有点的集合即为极值点集合。

可微函数的极大值要求驻点负定，一元函数情况下，要求驻点：即一阶导数在该点为0；要求负定：即二阶导数在该点严格小于0

(f''(x0)<=0只是半负定，要f''(x)<0才是负定)

多元也是这样，要求驻点：Jacobi矩阵在该点要为0；要求负定：海塞矩阵在该点必须是负定阵

当场证明给你看好了

设f(x1,,xn)是n元二阶可微函数

根据Taylor定理在x=(x(1),x(2),,x(n))处展开为

f(x1,,xn)=f(x(1),,x(n))+J(x)(x1-x(1),,xn-x(n))T+(x1-x(1),,xn-x(n))H(x)(x1-x(1),,xn-x(n))T

+((x1-x(1),,xn-x(n))模长的平方的高阶无穷小)

驻点要求J(x)=0,

负定要求H(x)是负定的，也就是说对于任意

(x1-x(1),,xn-x(n))T≠0，上述表达式右边第二项为0，右边第三项严格小于0，由于第四项是比第三项高阶的无穷小，所以在x点充分小的局部上，右边为f(x(1),,x(n))+某个严格小于0的项，所以左边严格大于右边（对于该点附近不同于该点的点来说）,根据定义，该点是极大值点。

所以

驻点负定

是极值点的充分条件

反过来，如果是严格的极大值点，也能得到驻点负定，所以驻点负定是严格的极大值点的充分必要条件

但是貌似那种不严格的极大值点不满足这点，半负定本身就是负定的必要条件

所以你这种说法也算是正确

f''(x)<0的必要条件是f''(x)<=0，所以不管怎么说，你把必要条件扩大到f''(x)<=0不会错的

但是作为充分条件就不够了

“f'(x0)=0(就是一元的J(x0)=0)且f''(x0)<0(就是一元的H(x0)负定)”是严格极大值的充分必要条件

但是不严格的情况（其实也只有平点的情况，根本就是在该点附近是一个常函数，这时候显然即是极大值又是极小值，但是不满足海塞矩阵负定，因为这时候不管几阶导数都是0，一般我们讨论问题时候会排除这种过于简单的特例）

极小值完全同理，就是驻点J=0，正定（海塞矩阵H正定）

既不充分，也不必要条件。取得极值，顾名思义就是极值点函数的值，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。而这个函数不一定为可导函数，所以既不是充分条件，也不是必要条件。

如果要证明的话，需要分两个方面：

首先，如果f(x)在x0处取极值，那么一定有f'(x0)=0，这是由极值的定义给出的。也就是存在一个小邻域，使周围的值都比这个极值大或小。

但是，如果只是f'(x0)=0，不能得到极值的条件。这个只需要举一个反例就可以了，如y=x^3，在x=0处，导数=0，但并不是极值点。事实上，这类点只是导数=0，函数仍然是单调的。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

扩展资料：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

——可导函数