什么叫 有界变差函数

有界变差函数

bounded variation，function of

令f为定义在[a,b]上的实值函数，a=x0<x1<<xk=b为区间[a,b]的任意划分。定义

属常用的函数类，它有许多好的性质，例如：有界变差函数必为有界函数；两个有界变差函数的和、差、积仍为有界变差函数；有界变差函数在[a，b]上黎曼可积；有界变差函数在[a，b]上几乎处处可导，导函数在[a，b]上勒贝格可积。此外还有，平面上由y=f(x)表示的曲线C可求长的充分必要条件是f为有界变差函数。应注意的是，连续函数不一定为有界变差函数。

我们知道实验变差函数的计算公式为

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

计算时,是根据数据的空间构形进行的。不同的数据空间构形按以下3种不同的方法计算。

(1)列线等间距的数据空间构形的计算

这种数据空间构形依据研究对象的实际情况,可分作一维、二维和三维空间进行计算。这种构形计算比较简单,只需按某一方向的点距等于基本滞后距,逐点对取值按公式 便可计算实验变差函数,如下图。

设沿α方向和β方向的基本滞后距分别为a和b,实验变差函数分别为 其中k1和k2等于1,2,…,n。

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

(2)列线非等间距数据构形的计算

对于这一构形主要是合理地解决好数据对问题,通常的作法是,将非等间距数据点按区间[hk-ε(h),hk+ε(h)]组合成距离组,然后用[kh±e(h)]内的所有数据对来计算γ 。譬如对于点xi,与xi的距离在[kh-ε(h)k,h+ε(h)]范围内的数据点(钻孔点),却可以被认作是xi距离为kh的点,ε(h)称作距离误差,对于ε(h)的选择,一般小于样品间距(h)的一半,

[在列线非等间距的构形中,因数据点的间距(h)不等,通常的作法是以统计多数样品的间距为准,取其 若统计多数样品的间距在100m左右,则确定h=100m,ε(h)≤50m]

这里需补充的是,在计算 为了使两钻孔点的距离接近kh,通常选用:

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

其中hj为任一钻孔距x点的实际距离。

此处的hj≥kh+ε(h)或hj≤k-hε(h)。

(3)非列线不等间距数据构形的计算

对于这种数据构形,其数据点对的确定,通常是按一定的角度和距离误差来组合数据对。

具体步骤如下:首先将数据组合成角度组。设dα为x方向的角度允许误差限,这样,α±αd内的数据都可认为是沿x方向的数据(dα一般为两相邻方向的夹角的 最大不能超过其夹角的一半第二步将数据点按距离组[hk±ε(h)]进行组合,在角度范围(α±αd)及距离范围[hk±ε(h)]内的数据点都可认为是xi点在α方向上相距为hk的数据点(如下图)。

地质统计学(空间信息统计学)基本理论与方法应用

341 桂林市区岩溶地下水水位观测网分布特征及存在问题

3411 桂林市区岩溶地下水水位观测网分布特征

图311 桂林市区岩溶地下水水位观测网分布示意图

（根据1990年9月水位资料）

至1990年，在区内不同地下水类型、环境地质亚区和环境地质问题突出段先后布置了60个水位观测孔，其中钻孔35个，天然水点14个，大口井11个；孔隙水11处，岩溶地下水49处；桂林市区岩溶地下水水位观测网分布状况详见图311。从分布图上可看出，观测孔主要集中分布在市区中心，研究区周边区域很少或没有分布观测孔。

3412 桂林市区岩溶地下水水位观测网存在的主要问题

桂林市区岩溶地下水水位观测网始建于1981年，当时很多观测孔来源于地质勘察孔或其他目的的施工钻孔，存在一些不合理、不完善的地方。其存在的主要问题如下：

1）观测网提供的信息数据具有冗余性。根据水位资料信息和分布图分析可知，一些相邻的观测孔的水位及水位动态变化情况基本相同。如观测孔GⅢ46、GⅢ47（图312）。

图312 1990年观测孔GⅢ46、GⅢ47地下水水位动态曲线图

2）监测点分布不合理。在排泄区布置的观测孔太多，而在一些径流区布置的观测孔过少。如在朝阳北侧、研究区西南部为地下水径流区，水位变化较大，水力坡度变化也大，布置的观测孔都太少。

3）地下水监测中水位监测与水质监测不同步，长期以来重水位而轻水质，不能满足全面评价地下水资源质量的要求。

342 桂林市区岩溶地下水水位观测网优化研究

3421 研究对象与目标

桂林市区岩溶地下水水分布范围广，水质好，是目前主要的开采层。但在强岩溶发育地区，岩溶地下水的过度开采往往会造成地面沉降、塌陷等地质灾害。因此，必须建立合理的地下水观测网，对岩溶地下水位进行实时观测，才能真正做到地下水的合理开采，防止漏斗面积的扩散及保护地下水水质。以岩溶地下水水位为研究对象，对桂林市区岩溶地下水水位观测网进行优化设计。

选用地下水位估计误差标准差为代用目标函数，用整个观测网平均估计误差标准差作为评价观测网整体精度的标准，优化的目标是在节省一定费用情况下，使优化后平均估计误差标准差与原观测网的平均估计误差标准差相差不大。

3422 地下水观测网点布设原则

观测孔总的布置原则是：对于面积较大的监测区域，以顺沿地下水流向为主与垂直地下水流向为辅相结合布设监测网；对于面积较小的监测区域，根据地下水的补给、径流、排泄条件来布置控制性监测点。

1）国家级区域地下水动态监测点，应在水文地质单元和含水层层序划分的基础上，依据地质环境背景和水文地质条件进行布置。主要布置在：

a岩溶水具有供水意义的地区，以及已经产生或可能产生岩溶塌陷的地区。

b已经或将要形成区域环境地质问题的地区。

2）省级地市区地下水动态监测点，要在国家级城市区地下水动态监测网的基础上布置。布置时应考虑以下几个方面：

a在城市供水水源地的补给、径流、排泄区，污染源附近和水源地保护区，均应布设监测点。

b在水源地应在平行和垂直于地下水流向布设两条监测线，以监测地下水位下降漏斗的形成和发展趋势。

c在查明水源地之间的相互影响或附近矿区排水对水源地的影响时，应于连接两个开采区的地带布设监测点。

d为建立城市地下水均衡计算模型或地下水管理模型的需要，可在边界处及计算分区内布设控制性监测点。

3423 桂林市区岩溶地下水位观测网优化设计研究

（1）岩溶水文地质半定量分析

考虑到克立格法人为增减观测孔的不准确性，从影响观测网优化设计布设的主要因素（岩溶地下水防护条件、岩溶地下水富水性、岩溶发育特征以及岩溶地下水开采条件等）角度分析提出了岩溶水文地质半定量分析法，根据其生成的半定量分区图与水位估计误差方差等值线图合成一个综合图形，通过综合图形对观测孔进行增减，不但能更准确地布置观测孔的位置，而且能提高优化效率。其方法介绍如下。

1）赋值。按各因素对桂林市区岩溶地下水位观测网布设的影响效果，分为大、较大、中、小四级标准。根据桂林市区实际情况，选取的主要影响因素及其赋值标准如表33所示。

表33 各影响因素赋值标准

2）权重的确定。权重反映各影响因素的相对重要程度，它既是决策者的主观评价，又是指标本质的物理属性的客观反映，是主客观综合度量的结果。权重主要决定于两个方面：第一，指标本身在决策中的作用和指标价值的可靠程度；第二，决策者对该指标的重视程度。目前，对指标的权重的确定存在着不少主观随意性，严重影响着评价结果的客观性。建立了最优化模型，对主客观赋权进行线性加权法求取权重，其表达式为

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

求解上述模型，即得综合集成权系数：

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

式中： 为专家所评各因素的权重；hk为各专家所评结果的重要程度， hk=1，q为专家人数；α，β分别表示主、客观赋权方法的相对重要程度，α+β=1；m为评价方案的个数；αij为第i个评价方案的第j个因素值； 为各评价方案中第j个因素值的最优值，即α中最优值，一般取其平均值；ij 为综合集成后的权重向量。

根据多名深入了解研究区水文地质条件的水利专家所建议各影响因素的初始权重，求得各影响因素综合权重值如表34所示。

表34 各影响因素权重赋值表

3）综合评价。基于MapGIS软件具有任意图形边界的多图层矢量数据叠加的功能，对岩溶地下水防护条件分区图、岩溶发育强度分区图等影响桂林市区岩溶地下水水位观测网优化设计的各因素的分区图进行图层叠加，在叠加后所形成的小分区内采用加权平均模型计算各小分区的综合评价值，其数学模型表达式为

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

式中：R为各区的综合评价值； 为各区因素的权重；Yj为各区内因素的赋值；n为各区内所有因素的数量。

根据计算的结果综合评价值基于MapGIS软件生成岩溶水文地质半定量分析图。其形成过程如下：

a各影响因素综合权重值的确定。根据多名水利专家所建议各影响因素的权重值，求得各影响因素综合权重值，在岩溶地下水富水性、岩溶地下水防护条件、岩溶发育强度等各主要影响因素的分区图中给各分区赋予因素值及综合权重值。

b基于MapGIS图层叠加功能，把各分区图叠加成一个综合图层。

c导出综合图的属性值（各分区图的因素值及权重），利用综合评价模型，计算出综合图中的各小分区的综合评价值（R），再导入到叠加图层中。计算结果在0～7之间，将其分成7个区间，每个区间赋予一个颜色并在综合图中表示出来，从而得到岩溶水文地质半定量分析图，如图313所示。

图313 岩溶水文地质半定量分析示意图

4）评价结果及分析。从岩溶水文地质半定量分析图上可看出，原观测网大多数观测孔分布在评价值高的区域，评价值在3以上的区域就分布有41个观测孔（表35），评价值越高，布孔率也就越大。

表35 原观测网各区间的分布面积及布孔率

（2）桂林市区岩溶地下水位观测网优化设计定量分析

1）岩溶水文地质条件分析。在岩溶地区，地下水含水介质的强非均质性给地下水观测网的布局和优化方法的选择上带来一定的困难。经过前面对研究区水文地质条件分析总结，克立格法适用于桂林市区岩溶地下水观测网的优化设计，其依据如下：

a观测孔集中分布在峰林平原或漓江两岸，其孔深都在100m以内，而在其深度范围内岩溶发育强烈，溶洞之间通过裂隙、微裂隙相互连通，从而使岩溶地下水保持密切的水力联系，构成了一个统一的岩溶含水层。

b研究区地下水系统含水介质以岩溶裂隙、溶洞为主，局部发育管道，具非均质性，但不强；地下水运动方式以散流为主，水的流态以层流为主，呈各向异性，但也不强。在研究区东区，广泛发育的溶洞、裂隙构成“地下溶洞-裂隙网络”，使岩溶含水层表现出类似于多孔含水介质的特征，可近似简化为相对均质各向异性含水层。

综上所述，研究区地下水系统具有非均质性及各向异性，但均不强，在局部范围内甚至表现出均质性，因此，克立格法适用于桂林市区岩溶地下水观测网优化设计的研究。

2）克立格法在桂林市区岩溶地下水观测网优化设计的应用。

A桂林市区各岩溶地下水水位观测孔坐标及水位值。桂林市区岩溶地下水水位观测网各观测孔1990年9月水位均值如表36所示。

表36 1990年9月桂林市区岩溶水位观测网各观测孔水位均值

B实验变差函数的计算。运用实验变差函数公式计算各方向实验变差函数值。经过分析，沿N—S、S—W、NE—SW、NW—SE4个方向分别计算的实验变差函数值相差不大，这也说明在观测孔分布范围内地下水系统含水介质非均质性不强。

由于观测孔分布的不规则性，可采用平均距离法计算实验变差函数。首先计算出每个观测点与其他观测点的距离hij，把它们分成8类，基于Matlab编程计算，算出的每类hij的个数、平均值，然后计算的平均实验变差函数 （h）如表37所示。

表37 原观测网每类hij的平均值及平均实验变差函数值

根据每一类的hij平均值及对应的平均实验变差函数值 （h），作出实验变差函数曲线，即图314中的折线。

图314 变差函数曲线拟合图

C实验变差函数的拟合。运用加权线性规划法对变差函数进行自动拟合，选用的球状模型为

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

将球状模型变差函数的拟合问题转化为多元线性回归问题。

根据加权线性规划法，运用Matlab编程计算得到b0=186、b1=061、b2=002；然后计算得到：C0=186，a=317，C=129，验前标准差C（0）=C0+C=315。

表38 加权线性规划法X1j、X1j、ωj值

续表

注：A为放大系数，在拟合时可根据人机互动方式设定。

根据表38计算结果，可得最佳拟合的理论变差函数为

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

D估计误差标准差及水位估值的计算。变差函数模型确定后，即可运用克立格方程组计算各观测孔估计误差标准差值和水位估值。

首先应用普通克立格方程组计算估计误差标准差值及水位估值。在计算中，由于计算时克立格系数出现了负数值，因此运用改进的克立格模型进行计算。从图313可知，当各观测孔两点间距离大于变程317km时，变差函数γ（h）几乎不变。这说明当两点间距离大于变程时，观测网内其他观测孔对估计点的估值有影响，但影响不大，可忽略不计。为了计算简单且符合精度要求，取距离小于变程范围内的所有观测孔参加克立格权系数和估计误差方差的计算。下面详细介绍观测孔GⅢ1、GⅢ63的克立格权系数和估计误差方差计算过程。

aGⅢ1。经过计算可知，有GⅢ3、GⅢ32、GⅢ35与GⅢ38观测孔与GⅢ1距离小于317km，因此只有它们4个观测孔参与计算，它们之间变差函数值及它们与GⅢ1观测孔间的变差函数值如表39所示。

表39 变差函数γi19、γij和权系数λi及拉格朗日乘子μ

利用表中数据，计算GⅢ1估计误差方差方程：

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

GⅢ1的水位估计值为

岩溶地区地下水与环境的特殊性研究

水位估计值与实际水位值相差003m。

bGⅢ63。依据变差函数计算公式，计算得到与GⅢ63距离小于变程所有观测孔之间的变差函数值和这些观测孔及GⅢ63的变差函数值的结果如表310所示。

表310 变差函数γi63、γij和权系数λi及拉格朗日乘子μ

根据表中变差函数值，计算GⅢ63水位估计误差方差为48852，把权系数代入水位估计公式求的其水位估计值为14495m，与实际值相差090m。

原岩溶地下水水位观测网其他各观测孔计算过程与GⅢ19、GⅢ63观测孔相同，各观测孔水位估计误差标准差值及水位估值如表311所示。

从表311中可看出，研究区地下水观测网平均估计误差标准差为39820。因此，给定估计误差标准差的临界值为39820。根据估计误差标准差等值线图，在水位估计误差标准差较大的区域，适当增加观测孔；反之，在水位估计误差标准差较小的区域则减少观测孔。然后再拟定几个优化方案，并计算各方案下平均估计误差标准差值和水位估值，经过精度比较和费用分析，选择其中最佳方案。

表311 原观测网各观测井估计误差标准差值

注：Δh为估计水位值与实际偏差表中，由于观测孔GⅢ21、GⅢ71周围317km内没观测孔，不能参加统计计算。

此外，由计算得到的各观测孔水位估值可知，在观测网布设密集区，水位估值较为准确，而在一些周边或水位变化较大的区域，由于分布观测孔较少，使得估计值不准确，甚至偏差很大。如观测孔GⅢ41，其变程范围内只分布有观测孔GⅢ45，故估计值即为GⅢ45的水位值，与实际相差1115m。在观测孔GⅢ13变程范围内分布的GⅢ11、GⅢ14、GⅢ23、GⅢ25等16个观测孔观测水位都比观测孔GⅢ13要大，其中观测孔GⅢ57水位值最小，仍比观测孔GⅢ13大072m，由于采用的克立格空间插值估计法是一种线性加权法，其算得的估值自然不会比参与计算的观测孔中的最小水位值小，即其估计水位值与真实观测水位值之间的偏差应在072m以上。因此，应在岩溶地下水位变化较大的观测孔周围布设观测孔以更全面地提取研究区水文地质信息量。

根据计算得到的原观测网岩溶地下水水位估计误差标准差值及水位估值，运用克立格空间插值技术，基于MapGIS软件生成估计误差标准差等值线图等值线图，如图315、图316所示。结果显示，在MapGIS中运用克立格空间插值法生成的估计误差标准差等值线能真实的反映实际情况。奇峰镇、研究区东北角处观测孔与周围观测孔距离太远，不能计算出估计误差标准差值，故缺少等值线的分布，需要增加观测孔以更全面反映整个桂林市区岩溶地下水水位动态；在岩溶所、湘桂铁路附近，观测孔分布较多，估计误差标准差值也小，可以减少一定量的观测孔。

图315 原岩溶地下水观测网水位估计误差标准差等值线示意图

从应用估计水位所作的地下水流场图与原地下水流场图可看出，在朝阳处流场发生了很大的变化，由于布置的观测孔少，GⅢ41 与GⅢ45 观测孔只有两者之间相互估计对方的水位，造成水位估计误差过大，从而使得估计的地下水流场不能真实反映实际情况，这也说明了原观测网布置得不合理。

E拟定被选方案。由于桂林市区岩溶地下水位观测网布置还相对较稀疏，因此在适当减少少量观测孔的条件下，以调整为主。将原观测网水位估计误差标准差等值线图和岩溶水文地质半定量分析图合成一个综合图，在水位估计误差标准差较大的区域，经过水文地质条件分析，在其区域内评价值较大的分区里增加观测孔；估计误差标准差较小的区域内，则在该区域内评价值较小的分区里减少观测孔，根据这个原则，拟定出两个优化方案；然后运用改进克立格法计算各方案的估计误差标准差值和水位估值；最后根据费用分析及精度比较，取其中较优者。

图316 原岩溶地下水观测网水位估计等值线示意图

（根据1990年9月水位资料）

方案1：

a分布在湘桂铁路处各观测孔估计误差标准差值都较小，其中最大的估计误差标准差为37941，因此根据岩溶水文地质评价分区图在该处评价值1～2减少观测孔GⅢ47、GⅢ48，保留与GⅢ47提供相同水位信息的观测孔GⅢ46；在2～3区间内减少观测孔GⅢ42，由于该处地下水位等值线分布较密集，水力坡度大，是地下水径流区，故还保留GⅢ24、GⅢ42两个观测孔。长海机械厂及其附近仅分布观测孔GⅢ6，其估计误差标准差较大为55694，在评价值为6～7的区间内增加观测孔Z1；在岩溶研究所及市区中心漓江两岸虽为地下水排泄区，但布置的观测孔很较多，估计误差标准差值很小，故可按一定的距离间隔减少分布在评价值大的区域内的观测孔GⅢ53、GⅢ54、GⅢ55、GⅢ59、GⅢ60、GⅢ68。

b拓木镇为地下水径流区，在评价值高的区域内增设观测孔Z2；瓦窑为人口密集区，发生的岩溶塌陷灾害的密度较大，而且估计误差标准差值也大，因此在评价值为5～6的区域新增观测孔Z3；朝阳北侧为地下水排泄区，该区域估计的水位流场已不能真实的反映实际情况，估计误差标准差值也大，故在评价值为5～6的区间内增加观测孔Z4。

c观测孔GⅢ20、GⅢ21布置的距离周围观测孔距离较远，因此将其稍作挪动，使其能参与估计误差标准差值和水位估值的计算；GⅢ29、GⅢ71观测水位与其他观测孔相差较大，为了更全面反映水文地质信息，在两者中间塘家湾处增加观测孔Z5。

此外由于观测孔GⅢ17与GⅢ65之间、GⅢ31与GⅢ64之间距离很近，水位值及水位动态变化情况也大致相同，因此减少分布在评价值较低的观测孔GⅢ17、GⅢ31。本方案在原观测网基础上减少观测孔11个，挪移位置2个，新增观测孔5个，优化后共43个观测孔，方案1中桂林市区岩溶地下水水位观测网分布情况见图317。

图317 方案1岩溶地下水观测网水位估计方差标准差等值线示意图

调整优化后，对各观测孔进行估计方差标准差及水位估计的计算。由于球状模型描述的是区域化变量结构的变化，而是在原观测网基础上进行的局部调整，整个观测网空间结构变化不大，因此调整优化后的观测网仍用原观测网拟合的球状模型。根据调整后的观测网各观测孔的坐标及水位值，运用Matlab编制的改进克立格程序模型计算的估计误差标准差值及水位估值如表313所示，并基于MapGIS软件生成的估计误差标准差等值线、估计水位等值线图如图317和图318所示。

图318 方案1岩溶地下水观测网水位估计等值线示意图

（根据1990年9月水位资料）

方案2：

在方案1中，GⅢ41、GⅢ65、GⅢ71、GⅢ20估计误差标准差值仍较大，因此方案2在方案1的基础上，在这四个观测孔附近综合评价值较高区域内增加Z6、Z7、Z8、Z9观测孔。计算结果如表312所示，根据计算结果所生成的估计误差标准差及估计水位等值线图如图319，图320所示。

F备选方案分析与确定。根据原观测网、方案1和方案2的计算结果和估计误差标准差、估计水位等值线图可知，虽然优化后减少的观测孔数目不多，但平均估计误差标准差有所增大，而估计水位值与实际水位值的平均偏差却有所减少。最主要原因是原观测网大多观测孔集中布设在市区中心地带，周边分布的观测孔很少，有些甚至不能进行统计计算，这就使得原观测网平均估计误差标准差值较小。而方案1和方案2是针对整个研究区进行优化调整的，在观测孔集中区减少观测孔，在周边及水位变动较大的地区增加观测孔以全面反映岩溶地下水水位信息，使得优化后所有的观测孔都参与了统计计算，观测网的观测范围也变大了，而观测孔数目又有所减少，所以估计误差标准差也相应地增加；由于在水位变动较大的区域增加设了观测孔，使得这些观测孔估计水位与实际水位偏差变小，不会出现水位估计有较大的偏差情况，所以优化后观测网平均水位估计偏差值比原观测网有所减少。

图319 方案2岩溶地下水观测网水位估计误差标准差等值线示意

优化后的观测网在顺沿地下水流和垂直地下水流方向上都布设了观测孔，在地下水补给、径流、排泄区都设有观测孔，在漓江河谷排泄区减少提供冗余信息的观测孔，在水力坡度较大区域增加了观测孔，因此在空间布局上优化方案较原观测网合理。从流场图上分析，原观测网估计水位流场已与原观测网水位流场变化较大，而优化方案估计的水位流场更符合实际。

图320 方案2岩溶地下水观测网水位估计误差标准差等值线示意图

（根据1990年9月水位资料）

表312 方案1和方案2计算结果

续表

原观测网、方案1和方案2的精度及费用分析比较如表313所示。

表313 方案1与方案2的比较

注：新建一个井约需8万元，每个井运行管理费及修理费每年按工程投资的5%计，各方案的设计年限为10年。

由表可知，方案1虽然可以节约24万元，但平均估计误差标准差相对较大，比原观测网增加158%，说明优化后整个观测网的布置很稀疏，达不到精度要求；方案2 是在方案1的基础上增加了4个观测孔，虽然费用只节省8万元，但观测精度提高了很多。根据桂林市区现有观测网布置密度相对较稀疏的实际情况，为了保证观测精度，优选方案2。