增函数与减函数的运算（加减乘除）

加减法很容易确定，可以看做普通的复合函数，减号可以看做是使某项的增减变反，之后同种相加可以判断，异种相加不可以。乘除法是不可以确定的，因为这其中涉及到一个绝对值，还有符号的问题，乘除的符号是不确定的，两个函数相乘，先不看符号，使其绝对值增减是都可以做到的，而之后再加上函数的符号问题以后，就又可以变了，因此不可以确定。如果用导数来理解的话，就更好说了，导数的正负已经确定，就如同正负数一般，函数加减很好判断，而至于乘除如何就不得而知了。举乘法为例，设两个都为增函数，[f(x)g(x)]'

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

其中你只知道导数两项为正，而函数值你都不知道，于是复合函数的导数正负也是未知的，故不可判断

增函数和减函数的运算关系如下：增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数+减函数=减函数，减函数-增函数=减函数。而增函数+减函数的增减性不一定的。

1、增函数的定义

一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的。

任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数。此区间就叫做函数f（x）的单调增区间。随着X增大，Y增大者为增函数。

2、证明

奇函数f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）

偶函数h（-x）=h（x）

i（x）=f（x）+g（x）

i（-x）=f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-（f（x）+g（x））=-i（x）

j（x）=f（x）-g（x）

j（-x）=f（-x）-g（-x）=-f（x）-（-g（x））=-（f（x）-g（x）=-j（x）

奇函数加，减奇函数会变成奇函数。

加偶函数，减偶函数，不一定。

增函数和减函数的加减关系也是不一定。

3、减函数的定义

减函数是函数f（x）的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果对于定义域D内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。

4、减函数的判断方法

当x1<x2时，f（x2）-f（x1）<0即为减函数，函数值随自变量的增大而减小。

增函数加增函数得增函数；

增函数加减函数不能确定。

如f(x)=2x，g（x)=-x,w(x)=-3x

则f(x)+g（x)还是增函数

而f(x)+w（x)则是减函数增函数减增函数不能确定

扩展资料：

减函数加减函数得减函数

减函数减减函数不能确定其增减性

增函数减减函数得增函数

减函数减增函数得减函数

判断增、减函数常用的几种方法

编辑

判断函数单调性的基本方法有：

①定义法

②图像法

③复合函数法

④导数法等等。

而定义法和导数法是做题中最常用的两种方法。

定义法

根据定义，我们可以归纳出用定义法证明函数单调性的思路为：

1）取值：设

为该相应区间的任意两个值，并规定它们的大小，如

；

2）作差：计算

，并通过因式分解、配方、有理化等方法作有利于判断其符号的变形；

3）定号：判断

的符号，若不能确定，则可分区间讨论；

4）结论：根据差的符号，得出单调性的结论。

参考资料：

增函数-

(1)若函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间A内都是增（减）函数,则函数y=f(x)+g(x)在A内是增（减）函数（2）若两个正值函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间A内都是增（减）函数,则函数y=f(x)g(x)在区间A内是增（减）函数（3）

有规律的是：单调递增的加单调递增的”函数的单调性是增

单调递减的加单调递减的”函数的单调性是减

单调递增的减单调递减的”函数的单调性是增

单调递减的减单调递增的”函数的单调性是减

乘与除的都无法确定

还有复合函数的：1内层与外层单调性相同的为增

2内层与外层单调性不同的为减

正所谓：同增异减

参考资料:

关于奇偶性:

1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数

2)奇偶性相同的两个函数的积、商(分母不为0)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积、商(分母不为0)为奇函数

关于单调性:

1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性

2)c>0时,函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性;c<0时,函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性

3)若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数

4)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数则f(x)g(x)也是增(减)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数则f(x)g(x)是减(增)函数