九年级数学三角函数公式表

关于九年级数学三角函数公式表如下：

锐角三角函数：锐角三角函数定义:锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)：对边比斜边，即sinA=a/c；余弦(cos)：邻边比斜边，即cosA=b/c；正切(tan)：对边比邻边，即tanA=a/b；余切(cot)：邻边比对边，即cotA=b/a；正割(sec)：斜边比邻边，即secA=c/b；余割(csc)：斜边比对边，即cscA=c/a。

三角函数记忆口诀：三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，  连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

e^(iα)=cosα+isinα； e^(-iα)=cosα-isinα；cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]；sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]。

三角函数与欧拉

三角学是以三角形的边角关系为基础，研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支。“三角学”一词的英文“trigonometry ”就是由两个希腊词“三角形”和“测量”合成的。现在，三角学主要研究三角函数的性质及其应用。

1463年，法国学者缪勒在《论三角》中系统总结了前人对三角的研究成果。17世纪中叶，三角由瑞士人邓玉函（Jean Terrenz 1576-1630)传入中国。在邓玉函的著作《大测》二卷中，主要论述了三角函数的性质及三角函数表的制作和用法。当时，三角函数是用左图中的八条线段的长来定义的，这已与我们刚学过的三角函数线十分类似。    

著名数学家、物理学家和天文学家欧拉（Léonard Euler)1707年出生于瑞士的巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习，后获硕士学们。1727年起，他先后到俄国、德国工作，1766年再次到俄国直至逝世。

1748年，欧拉出版了一部划时代的著作《无穷小分析概论》，其中提出三角函数是对应的三角函数线与圆的半径的比值，并令圆的半径为1，这使得对三角函数的研究大为简化，他还在此书的第八章中提出了弧度制的思想。

他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是Π，所对圆心角的正弦是0，即sin Π=0，同理，圆的1/4的长是Π/2，所对圆心角的正弦是1，可记作sin Π/2=1。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及其计算。

18世纪中叶，欧拉给出了三角函数的现代理论，他还成功地把三角函数的概念由褛范围推广到复数范围。

值得指出，1735年，欧拉右眼失明，《无穷小分析概论》这部著作出自版于他这一不幸之后。他的著作，在样式、范围和记号方面堪称典范，因此被许多大学作为教科书采用。

1766年，他回到俄国不入，又转成双目失明，他以惊人的毅力，在圣彼得堡又用口述由别人记录的方式工作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集，使他卷帙浩繁的著作得以流芳百世，至今已出版七十余卷。

欧拉公式的发现过程

早在1639年，法国著名数学家笛卡尔（解析几何学的创始人）就发现了一个规律：不管由多边形围成的凸多面体的外形如何变化，其顶点数（V），棱数（E）和面数（F）都满足一个简单的公式——V-E+F=2。但在当时这个规律并未广泛流传。

过了一百多年后，欧拉在1750年又重新独立地发现了这个规律，于是这个广为流传的公式被命名为欧拉多面体公式。

欧拉的思路大致是这样的：任意三角形的内角和一定是180°，用弧度表示就是π，这个角度是和三角形的形状和大小无关的。进而就能发现，任何一个凸n边形的内角和为（n-2）π，这说明凸多边形的内角和是由边数的多少决定的，也和形状、大小等因素无关。把这个理论推广到空间中若干个多边形围成的凸多面体，又有怎样的性质呢？

欧拉首先选择了几个形状简单的多面体进行推理，并将观察所得进行了归纳总结，他发现这些多面体的面角和是由多面体的顶点数决定的。欧拉又把这个猜想进一步推广，就得到了V-E+F=2的最终结论。

事实上，欧拉多面体公式的证明方法有很多种，比如数学归纳法，球面几何法等。

欧拉是一位不折不扣的数学天才。但是他的非凡成就也和他对数学的热爱有关。在欧拉人生的最后7年，他双目完全失明，但是仍然留下了大量数学遗产。这或许更能说明，为什么数学史上能留下那么多经典的欧拉公式吧。

同角三角函数的基本关系式

倒数关系:商的关系：平方关系：

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α

诱导公式

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan2(α/2)

1－tan2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

2tanα

tan2α＝—————

1－tan2α

sin3α＝3sinα－4sin3α

cos3α＝4cos3α－3cosα

3tanα－tan3α

tan3α＝——————

1－3tan2α

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－—

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－—

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－—

221

sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

2

1

cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]

2

1

cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

2

1

sinα·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]

2

三角函数公式有积化和差公式、和差化积公式、三倍角公式、正弦二倍角公式、余弦二倍角公式、余弦定理等。

1积化和差公式。sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]；cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)];cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)];sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

2、和差化积公式。sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2];sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2];cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

3三倍角公式。sin3α=3sinα-4sin^3α：cos3α=4cos^3α-3cosα

4两角和与差的三角函数关系sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ;cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ);tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)