摆线为区域的二重积分

解答：

当把原积分化为先对y、后对x的积分时，在把x的积分限确定之后，为了确定y的积分限，通常的做法是在横轴坐标为x的变化区间内随便一点x处，作垂直于x轴的直线，从下向上看该直线时，直线进入原积分区域的点对应的纵坐标即为y的下限，直线穿出原积分区域的点对应的纵坐标为y的上限。

在极坐标系

下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

将摆线OBA分成OB段和BA段两段；

用BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，减掉 OA段绕y轴旋转得到的旋转体的体积。

O点对应的参数t=0，B点对应的参数t=π，A点对应的参数t=2π。

BA段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从A点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=2π到参数t=π。

OB段绕y轴旋转所得到的旋转体的体积，从O点的y=0到B点的y=2a，相当于参数t=0到参数t=π。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：dS=2πxdx

圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx

又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt

S＝∫[0≤t≤2π]a(1-cost)d[a(t-sint)]

＝a²∫[0,2π]｛（1-cost）²｝dt

＝a²[t+t/2+（sin2t）/4+2sint]|[0,2π]值差

＝3a²π（面积单位）

基本原理

摆线针轮行星传动中，摆线轮齿廓曲线运用内啮合发生圆产生的短幅外摆线。

有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。