python – 来自scipy.special的fadeeva函数的二阶导数

概述我想计算Fadeeva函数special.wofz的二阶导数. Fadeeva函数与误差函数密切相关.因此,如果有人更熟悉erf,那么答案是值得赞赏的. 这是找到wofz的二阶导数的代码： import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special import wofzdef Z(x): return 我想计算Fadeeva函数special.wofz的二阶导数. Fadeeva函数与误差函数密切相关.因此,如果有人更熟悉erf,那么答案是值得赞赏的.
这是找到wofz的二阶导数的代码：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special import wofzdef Z(x):    return wofz(x)## first derivative of wofz (analytically)def Zp(x):    return -2/1j/np.pi**0.5 - 2*x*Z(x)##second derivative (analytically)def Zpp(x):    return (Z(x)+x*Zp(x))*xx = np.float64(np.linspace(1e4,14e4,1000))plt.plot(x,Zpp(x).imag,"-")Zpp_num=np.diff(Zp(x))/np.diff(x)  ##calc numerically the second derivativeplt.plot(x[:-1],Zpp_num.imag)

代码生成下一个数字：

显然,分析计算存在严重问题.我一直在使用的公式是正确的.它必须是一些数字问题.

问：有人能告诉我这种行为的原因是什么吗？是否由于wofz功能的精确性？有谁知道计算wofz的算法？可以产生可靠结果的论点有多大？我找不到任何关于它的信息.另外,我知道我可以使用wofz的渐近逼近来找到二阶导数但是如果可能的话我想使用scipy.

解决方法 按照@Andras Deak的回答,您可以分析地找出高x扩展,然后使用一些简单的平滑在它和scipy函数之间进行插值.实际上有两个术语在高x扩展中取消,所以你必须要小心一点.

这是我得到的答案：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special import wofzdef Z(x):    return wofz(x)## first derivative of wofz (analytically)def Zp(x):    return -2/1j/np.pi**0.5 - 2*x*Z(x)def dawsn_expansion(x):    # Accurate to order x^-9,or,relative to the first term x^-8    # So when x > 100,this will be as accurate as you can get with    # double floating point precision.    y = 0.5 * x**-2    return 1/(2*x) * (1 + y * (1 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))def dawsn_expansion_drop_first(x):    y = 0.5 * x**-2    return 1/(2*x) * (0 + y * (1 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))def dawsn_expansion_drop_first_two(x):    y = 0.5 * x**-2    return 1/(2*x) * (0 + y * (0 + 3*y * (1 + 5*y * (1 + 7*y))))def blend(x,a,b):    # Smoothly blend x from 0 at a to 1 at b    y = (x - a) / (b - a)    y *= (y > 0)    y = y * (y <= 1) + 1 * (y > 1)    return y*y * (3 - 2*y)def g(x):    """Calculate `x + (1-2x^2) D(x)`,where D(x) is the dawson function"""    # For x < 50,use dawsn from scipy    # For x > 100,use dawsn expansion    b = blend(x,50,100)    y1 = x + (1 - 2*x**2) * special.dawsn(x)    y2 = dawsn_expansion_drop_first(x) - dawsn_expansion_drop_first_two(x) * 2*x**2    return b*y2 + (1-b)*y1def Zpp(x):    # only return the imaginary component    return -4j/np.pi**0.5 * g(x)x = np.logspace(0,5,2000)dx = 1e-3plt.plot(x,(Zp(x+dx) - Zp(x-dx)).imag/(2*dx))plt.plot(x,Zpp(x).imag)ax = plt.gca()ax.set_xscale('log')ax.set_yscale('log')

产生以下图：

蓝线是数值导数,绿线是使用扩展的导数.后者实际上在大x时具有更好的行为.

总结

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