数学反三角函数定义及公式

反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin

x，反余弦Arccos

x，反正切Arctan

x，反余切Arccot

x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

反三角函数其他公式

　　cos(arcsinx)=√（1-x^2）

　　arcsin(-x)=-arcsinx

　　arccos(-x)=π-arccosx

　　arctan(-x)=-arctanx

　　arccot(-x)=π-arccotx

　　arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

　　sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

　　当

x∈[-π/2，π/2]

有arcsin(sinx)=x

　　x∈[0，π]，

arccos(cosx)=x

　　x∈(-π/2，π/2)，

arctan(tanx)=x

　　x∈(0，π)，

arccot(cotx)=x

　　x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似

　　若

(arctanx+arctany)∈(-π/2，π/2)，则

arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

反三角函数是一种基本初等函数，那么，反三角函数的求导公式有哪些呢？下面我整理了一些相关信息，供大家参考！

反三角函数求导公式有哪些

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

反三角函数要遵循哪些条件

1、为了保证函数与自变量之间的单值对应，确定的区间必须具有单调性；

2、函数在这个区间最好是连续的（这里之所以说最好，是因为反正割和反余割函数是尖端的）；

3、为了使研究方便，常要求所选择的区间包含0到π/2的角；

4、所确定的区间上的函数值域应与整函数的定义域相同。这样确定的反三角函数就是单值的，为了与上面多值的反三角函数相区别，在记法上常将Arc中的A改记为a，例如单值的反正弦函数记为arcsinx。

反三角函数有哪些类别

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反正弦函数

正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。

反正切函数

正切函数y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反余切函数

余切函数y=cot x在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

反正割函数

正割函数y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0，π/2）U（π/2，π]区间内。定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。

反余割函数

余割函数y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2，0）U（0，π/2]区间内。定义域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

　　基本初等内容

　　它有六种基本函数(初等基本表示)：

　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数 sinθ=y/r

　　余弦函数 cosθ=x/r

　　正切函数 tanθ=y/x

　　余切函数 cotθ=x/y

　　正割函数 secθ=r/x

　　余割函数 cscθ=r/y

　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

　　正矢函数 versinθ =1-cosθ

　　余矢函数 coversθ =1-sinθ

　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边

　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边

　　正切（tan）:角α的对边比上邻边

　　余切（cot）:角α的邻边比上对边

　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边

　　余割（csc）:角α的斜边比上对边

[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：

　　·平方关系：

　　sin²(α)+cos²(α)=1 cos²(a)=(1+cos2a)/2

　　tan²(α)+1=sec²(α) sin²(a)=(1-cos2a)/2

　　cot²(α)+1=csc²(α)

　　·积的关系：

　　sinα=tanαcosα

　　cosα=cotαsinα

　　tanα=sinαsecα

　　cotα=cosαcscα

　　secα=tanαcscα

　　cscα=secαcotα

　　·倒数关系：

　　tanα·cotα=1

　　sinα·cscα=1

　　cosα·secα=1

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

　　·三角函数恒等变形公式

　　·两角和与差的三角函数：

　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

　　·三角和的三角函数：

　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

　　·辅助角公式：

　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中

　　sint=B/(A²+B²)^(1/2)

　　cost=A/(A²+B²)^(1/2)

　　tant=B/A

　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

　　·倍角公式：

　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

　　cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)

　　tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]

　　·三倍角公式：

　　sin(3α)=3sinα-4sin³(α)

　　cos(3α)=4cos³(α)-3cosα

　　·半角公式：

　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

　　·降幂公式

　　sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

　　cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

　　tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

　　·万能公式：

　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]

　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]

　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

　　·推导公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos²α

　　1-cos2α=2sin²α

　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²

　　·其他：

　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n]=0

　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n]=0 以及

　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2

　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

　　cosx+cos2x++cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx

　　证明：

　　左边=2sinx(cosx+cos2x++cosnx)/2sinx

　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x++ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）

　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

　　等式得证

　　sinx+sin2x++sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx

　　证明:

　　左边=-2sinx[sinx+sin2x++sinnx]/(-2sinx)

　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx++cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)

　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

　　等式得证

[编辑本段]三角函数的诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（2kπ＋α）＝tanα

　　cot（2kπ＋α）＝cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　(以上k∈Z)

[编辑本段]正余弦定理

　　正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．

　　余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA

　　角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边

　　斜边与邻边夹角a

　　sin=y/r

　　无论y>x或y≤x

　　无论a多大多小可以任意大小

　　正弦的最大值为1 最小值为-

[编辑本段]部分高等内容

　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2

　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

　　·三角函数作为微分方程的解：

　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

　　特殊角的三角函数:

　　角度a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180°

　　1sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 0

　　2cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1

　　3tana 0 √3/3 1 √3 无限大 -√3 0

　　4cota / √3 1 √3/3 0 -√3/3 /

[编辑本段]三角函数的计算

　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2++cnxn+=∑cnxn (n=0∞)

　　c0+c1(x-a)+c2(x-a)2++cn(x-a)n+=∑cn(x-a)n (n=0∞)

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,cn及a都是常数, 这种级数称为幂级数

　　泰勒展开式(幂级数展开法):

　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!(x-a)+f''(a)/2!(x-a)2+f(n)(a)/n!(x-a)n+

　　实用幂级数：

　　ex = 1+x+x2/2!+x3/3!++xn/n!+

　　ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-(-1)k-1xk/k+ (|x|<1)

　　sin x = x-x3/3!+x5/5!-(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

　　cos x = 1-x2/2!+x4/4!-(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

　　arcsin x = x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + (|x|<1)

　　arccos x = π - ( x + 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 + ) (|x|<1)

　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - (x≤1)

　　sinh x = x+x3/3!+x5/5!+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+ (-∞<x<∞)

　　cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+(-1)kx2k/(2k)!+ (-∞<x<∞)

　　arcsinh x = x - 1/2x3/3 + 13/(24)x5/5 - (|x|<1)

　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + (|x|<1)

　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

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　　傅立叶级数(三角级数)

　　f(x)=a0/2+∑(n=0∞) (ancosnx+bnsinnx)

　　a0=1/π∫(π-π) (f(x))dx

　　an=1/π∫(π-π) (f(x)cosnx)dx

　　bn=1/π∫(π-π) (f(x)sinnx)dx

　　三角函数的数值符号

　　正弦　第一，二象限为正，　第三，四象限为负

　　余弦　第一，四象限为正　第二，三象限为负

　　正切　第一，三象限为正　第二，四象限为负

[编辑本段]三角函数定义域和值域

　　sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

　　tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

　　cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

[编辑本段]初等三角函数导数

　　y=sinx---y'=cosx

　　y=cosx---y'=-sinx

　　y=tanx---y'=1/(cosx)² =(secx)²

　　y=cotx---y'=-1/(sinx)² =-(cscx)²

　　y=secx---y'=secxtanx

　　y=cscx---y'=-cscxcotx

　　y=arcsinx---y'=1/√1-x²

　　y=arccosx---y'=-1/√1-x²

　　y=arctanx---y'=1/(1+x²)

　　y=arccotx---y'=-1/(1+x²)

[编辑本段]反三角函数

　　三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x)

　　反三角函数主要是三个：

　　y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

　　y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

　　y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

　　sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 -π/2,π/2

　　证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得

　　其他几个用类似方法可得。

arcsinx的导数是y'=1/cosy=1/√[1-(siny)²]=1/√(1-x²)

推导过程说明：

y=arcsinx y'=1/√（1-x²）

反函数的导数：

y=arcsinx,

那么，siny=x,

求导得到，cosyy'=1

即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)²]=1/√(1-x²)

反三角函数介绍

反三角函数是正弦，余弦，正切，余切，正割和辅助函数的反函数，并且用于从任何一个角度的三角比获得一个角度。 反三角函数广泛应用于工程，导航，物理和几何。

由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

推导反三角函数的一个快速方法是通过考虑直角三角形的几何形状，其长度为1的一侧，长度x的另一侧（0和1之间的任何实数），然后应用勾股定理和三角比。

三角函数与反三角函数的关系公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)。反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切，反正割，反余割为x的角。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。