地下水流基本问题的计算原理

一、地下水向河渠的运动

（一）河渠间地下水的稳定运动

1潜水的稳定运动

河渠间潜水的运动由于受大气降水入渗补给或蒸发消耗的影响，应该属于非稳定运动。但为了简化计算，当入渗在时间和空间分布上都较均匀时，可以把潜水运动看作稳定运动。

假设条件：

（1）含水层为均质各向同性，隔水底板水平；

（2）河渠间潜水有垂向均匀入渗补给或蒸发消耗，设其强度W为常数；

（3）河渠基本上平行展布，潜水流可视为一维、渐变流并趋于稳定。

基于上述假设条件，取垂直于河渠的单位宽度进行研究并按图4-24取坐标，根据式（4-62），可写出上述问题的数学模型为：

图4-24 河渠间潜水的运动

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式中：h为从左端开始的断面x处的潜水流厚度，h1、h2分别为左、右两侧河渠边缘的潜水流厚度。

对式（4-84）积分，得通解：

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式中：C1，C2为积分常数，可根据边界条件来确定，即将式（4-85）和式（4-86）代入式（4-87）得：

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最后，将C1，C2值代入式（4-87），得：

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式（4-88）即为河渠间有入渗（为正）或蒸发（为负）时，潜水流的浸润曲线（或降落曲线）方程。当参数K、W已知时，只要测定两个断面的水位h1和h2就可预测两断面间任一断面上的水位h。

由（4-88）对x求导数得：

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由达西定律知，河渠间任意断面的潜水流单宽流量为：

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式中，qx为距离左河x处，任意断面上潜水流的单宽流量。将式（4-89）代入式（4-90）得：

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当已知两个断面上的水位值时，可用（4-91）式计算两断面间任一断面的流量。关于河渠间潜水运动特点的讨论。

（1）由式（4-88）可知，潜水浸润曲线形状，当W＞0时，为椭圆形曲线；当W＜0时，为双曲线；当W=0时，为抛物线。

有入渗时，河渠间的浸润曲线形状为一椭圆形的上半支，河渠间形成分水岭，因为分水岭上水位最高，因此可用求极值的方法求出分水岭的位置。即将式（4-88）对x求导数，并令=0，将x=a代入，即得分水岭位置的计算公式：

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在其他条件不变时，由上式可得分水岭位置a与两侧河渠水位h1和h2的关系：

当h1=h2，则a=，分水岭位于河渠中间；当h1＞h2，则a＜，分水岭靠近左河；当h1＜h2，则a＞，分水岭靠近右河。即分水岭总是靠近高水位河渠这一边。

（2）排水渠合理间距的设计

在排水渠设计中，有时需将分水岭最高水位（hmax）控制在一定的标高上，以避免在河渠间产生盐渍化或沼泽化。

令x=a，h=hmax，代入式（4-88）得：

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由于该式中的l和a都是待求量，因此需和式（4-92）一起用试算法求解排水渠合理间距l。

在两渠水位相等时，即h1=h2=hw，分水岭位置a=时，式（4-93）可简化为：

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由上式知，当水位条件一定时，在入渗强度愈大、渗透性愈弱的含水层中，排水渠的间距愈小，反之愈大。

（3）河渠间单宽流量的计算

河渠间单宽流量的大小取决于分水岭的位置。

当a＞0时，q1=-Wa（负号表示流向左河）；

q2=-W（l-a）（正号表示流向右河）。

当a=0时，分水岭位于左河的起始断面上，此时

q1=0，左河既不渗漏也得不到补给；

q2=Wl，全部入渗量流入右河。

当a＜0时，不存在分水岭，此时全部入渗量流入右河，而且水位高的左河要向水位低的右河渗漏。

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（4）无入渗时潜水流的方程式

当W=0时，式（4-88）和式（4-91）可简化为：

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这就是著名的Dupuit公式。降落曲线的形状是二次抛物线。通过河渠间所有断面的单宽流量相等。

因为前面公式都是在Dupuit假设下导出的，忽略了渗流的垂向分速度，因此，用式（4-94）计算的浸润曲线较实际浸润曲线偏低（图4-25）。潜水面坡度愈大，两曲线的差别也愈大。但恰尔内（ИАЧарнюй）证实，虽然用了Dupuit假设，但按式（4-95）计算的流量仍然是准确的。

图4-25 计算出的潜水面与实际潜水面的比较

图4-26 双层岩层中的渗流

当含水层为非均质时，如双层结构的含水层，上层渗透系数比下层渗透系数小得多时（图4-26），可以将地下水流分成两部分，分界面以上为潜水，以下为承压水。由于通过整个含水层的单宽流量是通过上层和下层单宽流量之和，即

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当含水层的透水性沿水流方向急剧变化时（图4-27），根据水流连续性原理，通过两种透水性不同的岩层的流量是相等的。

即，对于渗透系数为K1的含水层，其单宽流量q为

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图4-27 岩层透水性急剧变化时的潜水流

图4-28 潜水底板倾斜时的承压水流

对于渗透系数为K2的含水层，其单宽流量q为：

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把式（4-97）和式（4-98）相加，得：

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式中：h1和h2是断面1和2上的潜水流厚度；K1和K2为相邻两岩层的渗透系数；l1

和l2是端面1和2到岩层分界面的距离。

绘制浸润曲线时，先按式（4-97）算出hs值，而后再用式（4-94）进行分段绘制。

2承压含水层中地下水的稳定运动

在承压含水层中，如含水层的厚度M为常数，入渗补给为零，为一维流动，其他条件与有入渗补给的潜水含水层相同时，承压水的流动方程式可以比照无入渗补给的公式写出，只要用MH替代潜水流方程中的h2/2即可。因此，由式（4-94）和式（4-95），可以写出承压水流方程如下：

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对上述承压水流公式作如下讨论：

（1）当含水层的隔水底板倾斜且倾斜度不大时，可用垂直方向上的水流厚度 M=（n为过水断面垂直于流线方向的值；θ隔水底板的倾角）代替n（图4-28）。

同理，也可用两断面间的水平距离l代替斜面上的距离l′。这样，用式（4-100）和式（4-101）即可进行底板为缓倾斜的承压含水层中地下水流的计算。

（2）当承压含水层的厚度M不是常数，而是随坐标变化时，如图4-29，通常可取上下两个断面含水层厚度的平均值代替M，以便求得近似解：

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（3）对于相互平行的层状含水层（图4-13），可用等效渗透系数代替式（4-101）中的K：

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式中：M=为层状含水层的总厚度；

Kp——等效渗透系数；

H1，H2——相距为l的两个断面上的水头值。

（4）在地下水坡度较大的地区，当出现上游为承压水，下游为无压水（图4-30）时，可以用分段法计算。

图4-29 含水层厚度变化的承压水流

图4-30 承压-无压流

在含水层厚度不变情况下，承压水流地段的单宽流量为：

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式中：l0为承压水流地段的长度。

无压水流地段的单宽流量为：

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根据水流连续性原理，q1=q2=q，因此，

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将l0代入以上两个流量公式中的任何一个，即可求得承压-无压流的单宽流量公式：

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降落曲线也可分别按承压水流公式（4-100）和潜水流公式（4-94）计算并绘制。

（二）一侧有河渠渗漏时，河渠附近潜水的非稳定运动

1河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水的非稳定运动

假设条件：

（1）含水层均质各向同性，侧向无限延伸，隔水底板水平，上部入渗量W=0，河渠引渗后为一维流；

（2）原始潜水面水平，水力坡度为零；

（3）河渠水位瞬时上升，上升幅度为Δh0，t=h0，t-h0，0，上升后保持不变。

此时，基本方程可由Boussinesq方程式（4-62）导出：

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当水位变幅Δh≤01 h（h为潜水流的厚度）时，上式括号内的h可近似地看作常量，用时段始末潜水流的平均厚度值hm来代替，经方程线性化后得：

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图4-31 河渠水位迅速上升时河渠附近潜水的非稳定运动

该方程称Boussinesq 方程的第一种线性化方法。

为求上述假设条件下，半无限含水层中河渠附近地下水非稳定流运动方程，可将计算坐标的选择如图4-31所示，初始时刻t=0时，由假设条件（2）知，区内各点水位为h0，0，设距离河渠x处断面在t时刻的地下水位变幅为：

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该断面处t=0时刻的水位变幅为：

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河渠水位瞬时上升为定值并发生侧渗后，x=0断面处有u（0，t）=h0，t-h0，0=Δh0，t；x=∞断面处有u（∞，t）=0，通过变量变换，令

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此时，由式（4-105），可得河渠水位迅速上升，而后保持不变，半无限含水层中河渠附近地下水非稳定流运动方程：

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式中：a=为压力传导系数。

将上式数学模型对变量t进行Laplace积分变换并进行整理后，可得上述数学模型的简化式：

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方程（4-110）是一个二阶线性常系数齐次微分方程，经过对其特征方程求解和Laplace 逆变换，可得JGFerris 的解：

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或

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式中：

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erfc（λ）为误差函数的补函数（余误差函数）。

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设F（λ）=，称为河渠水位对地下水位的影响系数，其值随时间t和距离x而变化，列于表4-2中。式（4-113）可改写为：

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表4-2 F（λ）数值表

如含水层的压力传导系数a为已知，欲求任一距离x和任一时间t，因河渠水位突然变化Δh0，t所引起的地下水位变化值时，可先求λ=，而后由表4-2查得F（λ），再由式（4-115）确定由此引起的水位变幅u值。将u=hx，t-h0，0代入式（4-113），可得：

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以上是河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水非稳定运动的基本方程及其简化后的数学模型、模型解和应用。

关于河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水侧渗速度变化的情况，可由达西定律写出。侧渗速度为：

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最后得：

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由此式可知：同一时刻不同断面的渗透速度不同，在起始断面x=0处，v=此时，渗透速度最大，远离河渠断面渗透速度逐渐变小。同理，在同一断面x上，渗透速度则随时间的增大而逐渐变小，即当t→∞时，v→0。

知道了侧渗速度变化的情况，即可求得侧渗补给量的变化情况。当水位变化不大时，潜水流的厚度可以用它的平均厚度hm来表示，这样，通过任一断面的单宽流量为：

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由此式可知，同一断面的单宽流量不等。当x=0时，单宽流量最大，其值为：

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它就是河渠向一侧补给地下水的单宽流量；同一断面的单宽流量是随时间的增大而减小的；河渠回水后，在t时间，x=0处，总的单宽流量为：

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2河渠水位变化时，河渠附近潜水的非稳定运动

当假设条件同河渠水位迅速上升（下降）为定值时，河渠附近潜水的非稳定运动，为便于计算，常将变化曲线概化为阶梯状曲线（图4-32），其相邻段之间的变化仍看作是瞬时回水。这样，就可把整个水位变化过程看作是各个瞬时回水的叠加。计算时，可按式（4-115），算出，t-t0，t-t1…，t-tn-1所对应的水位u值（t0=0）：

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上述各时段水位变幅叠加，即为河渠水位整个变化过程的变幅：

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将u=hx，t-h0，0代入上式，得：

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这样，在（x=0）起始断面上，河渠向一侧补给地下水的单宽流量为：

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在t时间内总的单宽侧渗量，也是河渠一侧补给地下水的总量，为：

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（三）两侧有河渠渗透时河渠间潜水的非稳定运动

1河渠水位迅速上升（下降）为定值时河渠间潜水的非稳定运动

假设条件：

（1）含水层均质、各向同性，侧向无限延伸，隔水底板水平，上部入渗量W=0，河渠引渗后为一维流。

（2）潜水的初始状态为稳定流，水位可用式（4-94）表示为：

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（3）两侧河渠水位同时上升，发生瞬时回水，左河水位从h0，0上升到h0，t，右河水位从hl，0上升到hl，t，如图4-33。该情况下的地下水运动仍可使用Boussinesq方程式（4-62）描述，但其中的W=0：

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为使上述方程线性化，可在其两端乘以潜水流厚度h：

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图4-32 水位连续变化时近似处理为阶梯曲线

图4-33 河渠间潜水的非稳定运动

令u=则将上式改写成：

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当潜水流的厚度变化不大时，可将其看作常数，用平均值hm代替。这样，上式又可进一步改写为齐次Fourier方程：

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式中：

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这是以u=表示的线性方程。因此，只有当求解问题的初始条件和边界条件对于u也是线性的时候，问题本身才是以u=表示的线性问题。这种线性化的方法称为Boussinesq方程的第二种线性化方法。

根据假设，以u表示的定解条件为：

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为便于求解，取新函数：

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并将其代入式（4-124），结合定解条件，使定解问题成为：

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然后，用有限Fourier正弦变换求解，得：

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利用下列展开式：

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及

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设，代入（4-130）式，得：

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设

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则上式简化为：

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式中：———相对距离；

———相对时间；

F———河渠水位函数，当在0～1区间变化时，可查表4-3；

F′———根据求得。

表4-3 函数数值表

式（4-131）为河渠水位迅速上升，而后保持不变时，计算河渠间任一断面，任一时刻水位的公式，由于函数是一个小于1的数，因此，乘上小于1的数，仍为一个小于1的数。这表明河渠间的水位变幅总是小于河渠的水位变幅。

取式（4-131）对x的导数，代入q=-Kh得：

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式中：qx，0——x断面处回水前的单宽流量；

qx，t——x断面处回水后，t时刻的单宽流量；

G，其中，河渠流量函数值可查表4-4；

G′）。

表4-4 函数数值表

式（4-132）表明两侧有河渠渗透时，河渠水位迅速上升后就保持不变，此时任一时刻、任一断面的单宽流量为非稳定流，它随时间和坐标的变化而变化，由于同一时刻，不同断面上有不同的水位变幅和流速，所以不同断面的流量也不同。

将式（4-132）在0～t区间内积分，得：

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式中：，其值可查表4-5。

式（4-133）为从引渗开始，经历时间t后，任一断面的总单宽侧渗量，即单位长度上河渠补给地下水的总量。

2河渠水位变化时河渠间潜水的非稳定运动

与前面所述相同，可将该情况下的变化曲线简化为阶梯状线段，见图4-34，并将左右两河渠的时段数概化为相同的数目。每一时段水位看作定水位，相邻时段间的水位变化仍看作为瞬时回水。这样，整个水位变化过程就等于是各个瞬时回水的叠加。应用叠加原理，可得到：

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上两式即为河渠水位变化时，河渠间任一时刻、任一断面上潜水位和单宽流量的计算公式。

表4-5 函数数值表

图4-34 水位连续变化近似处理为阶梯状线段

二、地下水向井的运动

根据水井所揭露的地下水类型，可将水井分为潜水井和承压水井。无论是潜水井或承压水井，根据其所揭露含水层的程度和进水条件，又可将水井分为完整井和不完整井。贯穿整个含水层并在整个含水层厚度上都安上过滤器，可全面进水的水井称为完整井，（图4-35a中的1，和b中的1）。反之，如果水井没有贯穿整个含水层，只有井底和含水层部分厚度上能进水时，称为不完整井，如图4-35a中的2、3、4和b中2、3。

图4-35 完整井和不完整井

由于篇幅所限，现只将地下水向井运动的主要问题列表说明（表4-6～表4-11），以方便读者应用。

表4-6 W（u）数值表（Ferris，Brown和Stallman等1962年）

续表

续表

表4-7 W（u，r/B）或W（u′，a′）数值表

表4-8 地下水向完整井的稳定运动

续表

续表

续表

表4-9 地下水向完整井的非稳定运动

续表

续表

续表

表4-10 地下水向不完整井的运动

续表

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续表

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表4-11 地下水向边界附近井的运动

续表

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续表

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在数学中，如果一个函数在某个点的函数值等于该点的极限值，那么我们称该函数在该点是连续的。连续函数的定义首先规定了函数在某个点的极限存在，然后要求该极限值等于该点的函数值，这样才能称该函数连续。

对于不连续的函数，为了使其在某些点连续，可能需要加入一些额外的定义或修正。例如，若函数在一个点存在跳跃，则可以在该点的左、右极限值的平均值处进行定义，这样就可以使定义域上的函数连续。这也是补充定义使函数连续的其中一种方法。

补充定义使函数连续的意思是，在函数的定义域中找到一个或多个不连续点，并且在这些不连续点处重新定义函数，使得在这些点处函数的极限值等于该点处的函数值，从而使函数在这些点处连续。这可以说是一种修补函数缺陷的方法。

举一个例子，假设一个函数在某个点处存在跳跃，那么如果我们在该点处补充定义为函数在该点左、右极限值的平均值，那么就可以将该点处的跳跃状况消除，使函数在该点处连续。这就是补充定义使函数连续的一种典型应用。

对于齐次方程，如果y1，y2是方程解，那么它们的任意线性组合ay1+by2（a，b是任意实数）还是方程的解。

对于非齐次方程，如果y1，y2是方程解，那么它们的任意线性组合ay1+by2（a+b=1）是该非齐次方程的解，a+b=0是对应齐次方程的解。

一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。

扩展资料：

在代数方程中，仅含未知数的一次幂，这种方程的函数图象为一条直线，可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

cos1980度怎么算的答案是：

余弦是一个三角函数，通常用于表示直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。它是正弦的补函数。

在下图中，cos(α) = b/c 和 cos(β) = a/c。由于 cos(α) = b/c，根据这个定义可以推出余弦函数的值在 -1 到 1 之间。

余弦函数是一个周期函数，周期为360°或2π弧度。这意味着每隔360°或2π弧度，余弦函数的值就会重复。

因此，要计算cos1980度，可以先将1980度化简为一个介于0°到360°之间的等效角度。方法是将1980除以360，得到商5和余数180。

这样就有 cos1980° = cos(5×360° + 180°) = cos180°。由于余弦函数在加上或减去整数倍的周期后不变，所以 cos1980° 和 cos180° 的值相同。

根据网络搜索结果23，cos180° 的值等于 -1。因此，cos1980° 的值也等于 -1。

希望这些信息对你有帮助。