关于质数的未解难题

孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5，5和7，11和13…。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：

存在无穷多个素数p，使得p + 2是素数。

素数对（p, p + 2）称为孪生素数。

在1849年，阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1的情况就是孪生素数猜想。

质数的个数是无穷的。

其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。 

哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。 因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为"强哥德巴赫猜想"或"关于偶数的哥德巴赫猜想"。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为"弱哥德巴赫猜想"或"关于奇数的哥德巴赫猜想"。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为"哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理"或"三素数定理"。

《国外数学名著系列(影印版)29:数论中未解决的问题(第3版)》分题目列出了数论中尚未解决的一些问题和猜想，对开展研究工作有很好的指导意义并指明了一些研究方向。

作者: 盖伊 

出版社: 科学

译者: 张明尧 

出版年: 2006年12月

页数: 343 页

定价: 3000元

装帧: 平装

丛书: 数学名著译丛

ISBN: 9787030103109

目录

Preface to the Third Edition

Preface to the Second Edition

Preface to the First Edition

Glossary of Symbols

Introduction

APrime Numbers

A1Prime values of quadratic functions

A2Primes connected with factorials

A3Mersenne primesRepunitsFermat numbersPrimes of shape k2n+1

A4The prime number race

A5Arithmetic progressions of primes

A6Consecutive primes in AP

A7Cunningham chains

A8Gaps between primes Twin primes

A9Patterns of primes

A10Gilbreath's conjeoture

A11Increasing and decreasing gaps

A12PseudoprimesEuler pseudoprimesStrong pseudoprimes

A13Carmichael numbers

A14"Good"primes and the prime number graph

A15Congruent products of consecutive numbers

A16Gaussian and Eisenstien-Jacobi primes

A17Formulas for primes

A18The Erdos-Selfridge classification of primes

A19Values of n making n-2k primeOdd numbers not of the form pa 2b

A20Symmetric and asymmetric primes

BDivisibility

CAdditive Number Theory

DDiophantine Equations

ESequences of Integers

FNone of the Above

Index of Authors Cited

General Index

相关定理

在一个大于1的数a和它2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。

存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年）

一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多只有9个质因数。（挪威布朗，1920年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）

一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国，1968年)

一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润)

折叠编辑本段著名猜想

哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？

孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？

斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？是否有无穷多个的梅森素数？在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？是否存在无穷个形式如X2+1素数？

折叠编辑本段性质介绍

质数具有许多独特的性质：

质数

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（3）质数的个数是无限的。

（4）质数的个数公式π（n）是不减函数。

（5）若n为正整数，在n的2次方到（n+1）的2次方 之间至少有一个质数。

（6）若n为大于或等于2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。

（7）若质数p为不超过n(n大于等于4)的最大质数，则p>n/2 。

黎曼猜想

黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。

在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。

黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。

DDB

abbr 分布式数据库（distributed data base）

专业：计算机科学技术|电子、通信与自动控制技术|地球科学

分布式数据库(Distributed Type Data Base)

文件资料库

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装置描述符块 (device descriptor block)

数位资料缓冲 (digital data buffer)

1Enter Carmichael Lynch, part of the Interpublic Group of Companies, which wasunexpectedly hired last October to replace DDB, an Omnicom Group agency

去年十月斯巴鲁出人意料地雇佣了卡米高林奇 (一个国际公众广告公司的一部分)以取代美国奥姆尼康的DDB．

2DDB is the result of combination of distributed technology and traditional database, which reflects the definite tendency of the database system from centralization todecentralization

分布式数据库是分布式技术和传统数据库相结合的产物，反映出数据库系统从集中化向非集中化发展的必然趋势。

3He worked as a copywriter for Volkswagen in DDB Barcelona in 1992, where helearned to respect Bernbach and the power of a good headline

1992年，他成为了DDB巴塞罗那公司的文案，为大众汽车服务。在那里他学会了尊重大师伯恩巴克，并明白了一条好标题的威力。

费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况（即 ，见于词条“欧拉函数”）。

卡迈克尔数

如上所述，中国猜测只有一半是正确的，符合中国猜测但不是质数的数被称为“伪质数”。

更极端的反例是卡迈克尔数：

假设a与561互质，则a^560被561除都余1。这样的数被称为卡迈克尔数数，561是最小的卡迈克尔数。Korselt在1899年就给出了卡迈克尔数的等价定义，但直到1910年才由卡迈克尔(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡迈克尔数:561。1994年William Alford 、 Andrew Granville 及 Carl Pomerance证明了卡迈克尔数有无穷多个。

对于判断是否是素数要分情况了，最暴力的就是判断小于它的数中有没有可以整除它的，即利用定义做；实现代码如下：

int isPrime(int n)

{

for(i=2;i<n;i++)

if(n%i==0) return 0;

return 1;

}

当然这种方法复杂度有点高为 O(n) ,对于比较大的数或者比较复杂得程序就不行，这方面的研究是很多的。先从古老的筛法说起吧，筛法是把素数的倍数依次筛掉，那最后剩下的自然就是素数。对于素数的筛法我的百度空间里有一篇文章你可以看看 http://hibaiducom/xiaotiandm/blog/item/127b3feeafe6cd202cf53457html这是比较快的一种博士筛法，还有好多你可以百度下，不再赘述。

还有关于素数，自然有不少有趣的定理，其中或许有哪个能帮助我们提高判断素数的效率。比如费马小定理：如果p是素数，那么对于所有比p小的正整数a，a^p mod p = a。x^y表示x自乘y次，就是求x的y次幂，x mod y是取x除以y的余数。证明略。但a^p mod p = a不是p是素数充分条件，存在有名但是极端稀少的Carmichael数，它们不是素数但是满足费马小定理，比如561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341。所以如果我们只是随机的从1和p-1之间（这里p是一个待判断的正整数）取一个数a计算a^p mod p的值，如果它不是a，那么我们100%肯定p不是素数。但如果a^p mod p的值是a呢？p可能是素数也可能不是，基于Carmichael数的稀有特性，这时如果宣布p是一个素数，这个断言是假的可能性比扔硬币决定p是不是素数而判断错了要小得多。费马小定理有另一种形式：如果p是素数，那么对于比p小的正整数a，a^(p-1) mod p = 1。这个性质是Carmichael数不具备的，只有和Carmichael数p互质的a才满足a^(p-1) mod p = 1。这意味着我们可以改进用费马小定理判断素数的算法，计算a^(p-1) mod p而不是a^p mod p，判断结果是不是等于1。当然得出p是素数但是判断错误的可能性仍然存在，虽然又进一步减少了。

与碳同位素主要受不同碳来源的流体混合控制不同,氧同位素则主要受到了不同氧来源的流体混合效应和温度分馏效应共同控制,并以温度分馏效应控制为主(张理刚,1985;黄思静等,2009a)。在一定物理化学状态下,矿物—水相互作用过程中的氧同位素可以达到分馏平衡,或者说,在一定温度(控制氧同位素分馏的最主要物理化学状态参数)条件下,矿物—水之间达到了同位素平衡,它们之间的氧同位素分馏系数是一定值,也就是说,一般情况下矿物—水之间的氧同位素分馏系数是温度的函数(张理刚,1985),随着温度的升高,氧同位素分馏系数逐渐减小。

根据上述原理,人们可以知道:矿物的氧同位素组成主要是由矿物—水系统的温度所控制,当系统温度升高时,从水中沉淀的矿物会更倾向于富集轻氧(16O),矿物的氧同位素组成相应偏负,也就是说,在相同氧同位素组成的流体中,低温条件下沉淀的矿物具有相对正的氧同位素值(δ18O),而高温条件下沉淀的矿物具有相对负的氧同位素值(δ18O)。当然,如果矿物—水反应的封闭系统遭到破坏,其外部流体(不论富16O,还是富18O)的侵位混合作用也会直接影响到水及相应沉淀矿物的氧同位素组成,使得后期沉淀矿物的氧同位素组成显著不同于前期沉淀矿物的氧同位素组成,或相对偏正、或相对偏负。事实上,单就矿物的氧同位素组成而言,人们很难在实际应用中确定这些氧同位素组成是受到了矿物—水系统温度的控制,还是受到了外部流体的侵位混合作用其可用性需要其他地球化学证据的进一步支持。

川东北地区三叠系飞仙关组不同类型白云岩(白云石)的δ18O平均值为-477‰(PDB);从总体上看,所有不同类型白云岩(白云石)的δ18O值都不同程度地高于同层位灰岩的δ18O值(表64;图613,图614),但这并不能说明它们之间存在直接的关联。对于白云岩而言,它们更多的是记录了白云化流体的δ18O值,而对于灰岩而言,它们更多的是记录了灰岩成岩过程中水—岩相互作用后成岩流体的δ18O值,这两种流体之间可能存在直接关联,但也可能不存在直接关联。对于分布在不同空间位置的白云岩和灰岩而言,它们分别记录的δ18O值显然更可能不存在直接的关联,同时当前的白云岩或者灰岩的δ18O值也并不是它们各自对应沉淀流体的δ18O值,它们与各自对应沉淀流体之间都存在着不同的水—岩之间的氧同位素分馏作用关系,而且这些氧同位素分馏作用十分复杂且不能直接简单获得,即白云岩或者灰岩的δ18O值不能简单地等同于它们各自对应沉淀流体的δ18O值,因而白云岩与灰岩之间的δ18O值不能简单地直接对比。当然,对于一些直接共生的方解石和白云石矿物对而言,由于它们与沉淀流体之间的氧同位素分馏作用关系是相对明确的,同时如果沉淀流体的氧同位素组成是已知的话,那么氧同位素组成交换平衡的方解石和白云石共生矿物对之间的氧同位素差值是确定的,换言之,它们的氧同位素组成(或氧同位素差值)所反演的沉淀流体氧同位素组成也是确定的。尽管川东北地区三叠系飞仙关组不同类型白云岩(白云石)与灰岩之间的δ18O值存在氧同位素差值(△δ18O;表64;图613,图614),但由于飞仙关组海相灰岩的氧同位素与大气淡水(或其他流体)的氧同位素已经发生了交换,这些灰岩所记录的氧同位素组成信息已经不是原有的海水信息,且白云岩与灰岩之间的空间分布差异较大(图33),因而这些白云岩与灰岩之间的δ18O值可能并不存在直接的关联意义。

图613 川东北地区三叠系飞仙关组不同层段不同类型白云岩(白云石)和同期灰岩的氧同位素组成直方图

图614 川东北地区三叠系飞仙关组不同层段不同类型白云岩(白云石)与同期灰岩之间的氧同位素组成差值直方图

就川东北地区三叠系飞仙关组不同类型白云岩(白云石)而言,根据δ18O值的大小可以分为三类:结晶白云岩和孔洞白云石具有相对较小的δ18O值,微晶白云岩具有相对中等的δ18O值,原始结构保存的粒屑白云岩具有相对较大的δ18O值(表64;图613),这三类白云岩(白云石)很可能对应着不同的形成环境和白云化流体来源。根据前面第5章的有关内容可以发现:无论是氧同位素内部计温法,还是氧同位素外部计温法,上述三类白云岩(白云石)对应着三个较为明显不同的温度区间——结晶白云岩和孔洞白云石分布在较高的温度区间,原始结构保存的粒屑白云岩分布在较低的温度区间,而微晶白云岩则在上述两个温度区间的过渡区(图55,图59),但由于微晶白云岩可能受到了后期白云石重结晶作用过程中氧同位素再平衡作用的影响,微晶白云岩的氧同位素计算温度偏高,其白云化流体的温度应该等同或接近地表温度,因而从总体上看,川东北地区三叠系飞仙关组结晶白云岩和孔洞白云石更可能与相对深埋的高温白云化流体来源有关,原始结构保存的粒屑白云岩、微晶白云岩则更可能与近地表的相对低温白云化流体来源有关。

同时,根据氧同位素的分馏机理:当矿物—水之间达到了氧同位素平衡,一般情况下矿物—水之间的氧同位素分馏系数是温度的函数(张理刚,1985),当氧同位素平衡系统中温度和矿物的氧同位素组成可以确定,那么就可以知道系统中流体的氧同位素组成,进而可以推断矿物沉淀流体的来源。当然,这一问题需要在矿物氧同位素组成—流体氧同位素组成—温度三维坐标图加以考虑(图615)。当白云石从流体中沉淀出来并在同位素上达到平衡时,白云石—流体之间的氧同位素分馏系数(α)是温度的函数,它们之间的关系是确定的。当然,由于白云石(白云岩)成因问题一直悬而未决,低温条件下白云石与沉淀流体之间的关系往往都是前人通过理论计算和高温实验外推得到,因而它们之间的关系仍然存在一定的不明确性,前人公布的白云石—水之间的氧同位素分馏方程也仍然存在一定的差异(详细见第5章有关内容)。目前,前人在通过氧同位素分馏方程反演白云石沉淀流体的氧同位素组成时,多选用Land(1983)提出的白云石—水之间的氧同位素分馏方程(方程(66)),因而本书也以这个氧同位素分馏方程为例,反演川东北地区三叠系飞仙关组白云化流体的氧同位素组成,进而推断其白云化流体的来源。

川东北地区三叠系飞仙关组白云岩的形成机制

式中:α白云石-水为白云石—水之间的氧同位素分馏系数;T为开尔文温度,Ko

当知道了白云石的氧同位素组成(δ18O白云石)和沉淀温度(T),那么就可以通过上面关系式(方程(66))反算白云化流体的氧同位素组成(δ18O流体),其中白云石的氧同位素组成可以通过白云石经纯磷酸溶解后CO2的气体质谱分析获得,沉淀温度则可由白云石矿物中流体包裹体均一化温度加以代替(可以大致等价于沉淀温度)。根据川东北地区三叠系飞仙关组不同类型白云岩(白云石)的δ18O值和流体包裹体均一化温度(或氧同位素计算温度)数据及其分布范围,将这些数据投在与白云化流体氧同位素平衡的白云石氧同位素组成—沉淀温度的关系曲线图上,那么就可以获得上述不同类型白云岩(白云石)所对应的白云化流体δ18O值,进而可以推断这些白云化流体的性质和来源。

结果如图615所示,显示川东北地区三叠系飞仙关组2段结晶白云岩所对应的白云化流体δ18O值都大致分布在4‰～8‰(SMOW)之间,且都分布在海水线(假定三叠纪全球海水δ18O=0‰(SMOW);Korte et al,2005;Carmichael et al,2008)以上。穆曙光等(1994)曾报道的川东北地区三叠系飞仙关组结晶白云岩(细晶白云石;图615中实心三角形)对应的白云化流体δ18O值也主要出现在4‰～8‰(SMOW)之间,与本书的川东北地区三叠系飞仙关组2段结晶白云岩对应的白云化流体δ18O值有着很好的一致性,进一步说明了本书推断的可靠性。

川东北地区三叠系飞仙关组白云岩的形成机制

图615与白云化流体氧同位素平衡的白云石氧同位素组成与沉淀温度关系图|等值线:与白云石氧同位素平衡的白云化流体氧同位素组成,由方程(66)计算获得;有实心菱形数据点的曲线代表三叠纪全球海水的δ18O值,假定为0‰(SMOW;Korte et al,2005;Camichael et al,2008);有空心菱形数据点的曲线代表大气淡水的δ18O值,取西太平洋15个现代雨水的δ18O平均值(-835‰,SMOW;任建国等,2000);实心圆圈、实心矩形、实心三角形数据点分别对应穆曙光等(1994)的飞仙关组微(泥)晶、粉晶、细晶白云石;实心正方形数据点对应本书飞仙关组2段结晶白云岩;虚线包围的多边形阴影区对应本书飞仙关组不同类型白云岩(白云石)δ18O值和氧同位素计算温度主要分布范围(详细见第5章内容)

在图615中,尽管本书只有几个同时获得白云岩(白云石)δ18O值和流体包裹体均一化温度的样品数据点,但这些数据反演获得的白云化流体δ18O值与目前川东北地区三叠系飞仙关组的上覆地层——嘉陵江组和雷口坡组卤水的δ18O值十分吻合(图58,图615);同时在氧同位素温度计算结果范围内,川东北地区三叠系飞仙关组大多数结晶白云岩(孔洞白云石)所对应的白云化流体的δ18O值也很可能分布在海水线以上,因而可以认为这些结晶白云岩(孔洞白云石)的白云化流体很可能与同期蒸发海水、囚禁蒸发海水、蒸发盐再溶卤水等海源流体有直接关系。

与此同时,由于原始结构保存的粒屑白云岩(包括含灰鲕粒白云岩)可能形成于小于60℃的温度区间内(表55,表58;图55,图57,图511,图512),那么它们也就有可能分布在海水线附近(图615)。穆曙光等(1994)分析的川东北地区三叠系飞仙关组粉晶白云石流体包裹体均一化温度(这是已有研究中对这些细结构白云石流体包裹体均一化温度的唯一报道,包括后面的微(泥)晶白云石)对应的δ18O值也分布在海水线附近(图615)。由于本书部分微晶白云岩可能受到后期白云石重结晶作用过程中氧同位素再平衡作用的影响,因而部分微晶白云岩的氧同位素计算温度稍高、位于结晶白云岩温度区间和粒屑白云岩温度区间之间的过渡区(表55,表58;图55,图57,图511,图512),但根据其他微晶白云岩的氧同位素计算温度和穆曙光等(1994)曾分析的川东北地区三叠系飞仙关组微(泥)晶白云石流体包裹体均一化温度,微晶白云岩的数据基本投在图615中海水线与大气淡水线之间,其较小的流体δ18O值可能与富δ16O大气淡水的混合作用有关。