为什么定积分和不定积分都叫积分，但是他们的几何意义上看来完全没有联系？它们到底有什么关系？

不定积分是函数的概念。而定积分是一个数。两者相差很大。但他们之间有深刻的联系，由牛顿-莱布尼兹公式，即微积分基本公式阐明：

其中F'(x)=f(x),即F(x)是f(x)的一个原函数。

       有了这个公式，定积分的问题就转化为寻找一个函数的原函数的问题。

       由导数的定义知道，一个函数如果有原函数，则有无穷多个，并且任何两个原函数相差一个固定的常数，因此一个函数的原函数是一个函数族，这个函数族可以写成一个固定的原函数加上一个任意常数。

       既然原函数和定积分有关系，而一个函数的原函数又很多构成一个函数族，因此这个函数族起名字的时候和定积分相关联是正常的。但不能叫定积分。所以这个函数族叫不定积分。

原函数不是初等函数，所以，是积不出来的。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数  及  的原函数存在，则

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数  的原函数存在，  非零常数，则

扩展资料：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。