如何用微分学定义判断函数的可微性？

解析如下：

设z=xy，则两个偏导数分别为zx=y，zy=x。

所以，dz=zx·dx+zy·dy=ydx+xdy。

如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。

相关定义：

1、如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

2、若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

3、若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。

4、若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

明显是你理解错了

图1里说的是偏导数连续

意思是求出来的偏导函数f'x和f'y

二者都连续，那么当然函数可微

但并不是说函数

在某点可偏导就一定偏导数连续

所以在某点可偏导不一定可微

这一讲分三个部分

这两种定义方式是有区别的，如下面这道例题

通俗的讲，第一种定义是说函数在邻域内除去没有定义的之外的所有方向都趋向同一个值，第二种定义是说邻域内所有方向都存在且趋向同一个值

由于这个争论尚没有定论，所以考题中会避免这样的争论，考察二元函数极限的时候通常是各种方向都有定义的函数

判断函数 可微 ：

第一步：写出全增量

第二步：写出线性增量 ，其中

第三步：作极限 ，若该极限等于0，则 在点 ，否则不可微