多元函数的极值问题

这里F是辅助函数，它是x，y，z的三元函数，

即F=F(x,y,z)，这时候偏导是有3个F'x，F'y，F'z

如果把z看成了x，y的函数，z=z(x，y)

那么F=F(x,y,z(x,y))就是关于x，y的二元函数了，它只有两个偏导F'x，F'y

但辅助函数求极值需要的是把F作为所有变元，即x，y，z的三元函数

此时求偏导时x，y，z要看做是独立的

因为边界满足“等于”的条件，是个方程。区域内部并不满足，而是一个”不等式“的条件

拉格朗日函数求条件极值，就是在已知条件是个方程（等式）的条件下运用的。

那个λ后边跟的，不就是方程f=b，化成的f-b么

我来逐一回答你。

因为: x^2/a^2+y^2/b^2=1,  同时z=0, 所以曲线L 是在平面xoy上的一个椭圆。

椭圆绕着x轴旋转后就变成了一个球了，是一个椭球（类似橄榄球）

内接长方体，即使在椭球的内部挖一个长方体，长方体的四个顶点刚好在椭球的外表面上。

体积v=8xyz 是因为在第一卦限的面积为xyz，而整个长方体由8个这样的小长方体所组成，所以大长方体的体积=8个小长方体体积之和。但实际上我们只需要求的xyz的最大值即可（xyz最大值确定后，8xyz自然获得最大值），那么系数8是可以去掉的。

这种题的解题步骤很固定。

求出极值的表达式，例如本体的体积表达式 f(x,y,z)=8xyz

构造拉格朗日函数 F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) g(x,y,z)为条件函数（比如本题x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1, ）

求偏导，令为0求得驻点

讨论实际的极值点