多元函数求极值里面的条件极值的求法为什么是这么求的？

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。

以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令

fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。）=b,fyy=(x。,y。）=c

则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是

（1）ac-bb>0时有极值

（2）ac-bb<0时没有极值

（3）ac-bb=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。

如果是条件极值，那么更复杂一些。

大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。

如果需要我可以发给你pdf。

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值，解：令∂f/∂x=3x²+2y=0①再令∂f/∂y=2x-3y²=0②由②得x=(3/2)y²；代入①式得

(27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0，故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。

再求两驻点处的二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x；

B=∂²f/∂x∂y=2；

C=∂²f/∂y²=-6y；M(0，0):

A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；N(-2/3，2/3):

A=-4<0；

B=2；

C=-4；

B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27

扩展资料

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

搜狗百科-多元函数

具有偏导数的多元函数的极值点必定是驻点，是对的。

分析过程如下：

具有偏导数的多元函数的极值点必定是驻点，这是极值取得的必要条件。

驻点和极值点:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点。例如上面举例的y=x3，x=0是函数f(x)的驻点，但它不是极值点。此外,函数在它的一阶导数不存在时,也可能取得极值，例如y=|x|，在x=0处导数不存在，但极值点是x=0。

所以具有偏导数的多元函数的极值点必定是驻点，是对的。

扩展资料

驻点和极值点使用时注意事项：

（1）极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

（2）可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如

y=x³,点(0,0)是它的驻点，却不是它的极值点。

（3）f(x)极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。

作拉格朗日函数

L(x,y)=x+2y+a(x^2+y^2-5)

求导，令

Lx=1+2ax=0

Ly=2+2ay=0

由此得到，x=-1/2a,y=-1/a

带入x^2+y^2=5中

1/4a^2+1/a^2=5

a^2=1/4

a=-1/2或a=1/2

所以x=1,y=2

与x=-1,y=-2是函数极值点

因此函数极小值=-1-4=-5

极大值=1+4=5

望采纳

如果x=x0为驻点,判定极值点的方法就是看当x x0时f'(x)是否异号

如果异号,

若x 0

x>x0时,f'(x)<0,

则该点为极大值点

若x<x0时,f'(x)<0

x>x0时,f'(x)>0,

则该点为极小值点

x x0时f'(x)同号,则该点不是极值点 </x0时,f'(x)<0

多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式，则称函数在点有极大值。如果都适合不等式，则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。例2函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。例3　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式这表明一元函数在处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面成为平行于坐标面的平面。仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令则在处是否取得极值的条件如下：(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；(2)时没有极值；(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

你想问的是驻点与极值点的关系吧，总体来说有三点。

驻点和极值点的关系为极值所在的点一定是驻点，但是驻点不一定是极值所在的点，x0=0是极值点，但不是驻点，驻点，极值点均与函数y=f(x)的一阶导数f'(x)有关。驻点，极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0。

第一句话“有条件的情况下求出的极值也是在整个定义域的极值”就错了，在一定条件下求出的极值未必是整个定义域的极值

f(x,y,z)的极大值点(a,b,c)要满足的条件是：对(a,b,c)的某去心邻域内的任意点(x,y,z)，f(x,y,z)＜f(a,b,c)

如果(a,b,c)是f(x,y,z)在条件g(x,y,z)＝0下的极大值点，要满足：在(a,b,c)的某去心邻域内且满足g(x,y,z)＝0的任意点(x,y,z)，f(x,y,z)＜f(a,b,c)

很明显，后者不一定满足前者的条件