大学微积分 如何判断函数是连续函数

首先按定义，函数在某点连续，当且仅当该函数在该点左右极限都存在且相等，且在该点的函数值等于极限值。

其次，可以用柯西收敛准则来判断，函数f(x)在x0连续等价于：

对任意的η>0，存在δ>0，使得当x1，x2都落在x0的δ邻域内时|f(x1)-f(x2)|<η。

根据函数的连续性定义来判断。

函数连续性定义：

对定义域内任意一个x0，在x0的领域内都有limf(x)=f(x0)(x->x0)

即函数在x0处的极限值等于该点的函数值时，由函数在该点连续，如果函数在定义域内的每一个点都连续，则该函数在定义域内连续。

从图像上看，函数连续，则图像是一条不断开的曲线。如果从某点处断开，则函数在该点就不连续了。

1、证明一个分段函数是连续函数。

首先看各分段函数的函数式是不是连续（这就是一般的初等函数是否连续的做法）然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等并等于函数值。

分段点处的左极限用左边的函数式做，分段点处的右极限用右边的函数式做。

2、多元函数在某点处的连续性证明

如果一个多元函数是连续的,那么一般的做法是这样：通过夹逼法,h(x)<f(x)<g(x),而h(x)与

g(x)的极限又是相等的,然后通过对比f(x)在某一点的函数值,最后得出结论是否相等而一般的。

这种题目往往是探求在(0,0)这一点的连续性,而又往往左边h(x)是0,右边g(x)也是趋于零的而g(x)趋于零通常又是运用基本不等式对它进行放缩最后求得极限。

扩展资料

所有多项式函数都是连续的。各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。

绝对值函数也是连续的。

定义在非零实数上的倒数函数f=

1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数，那么无论函数在零点取任何值，扩张后的函数都不是连续的。

非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为：f(x)

=

1如果x>

0，f(x)

=

0如果x≤

0。取ε

=

1/2，不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。

另一个不连续函数的例子为符号函数。

-连续

判断连续用定义法，函数f(x)在点x0是连续的，是指

lim(x→x0)f(x)=f(x0)

函数在某个区间连续是指

任意x0属于某个区间都有以上的式子成立。

还有一条重要结论：初等函数在其有意义的定义域内都是连续的。

从图像上看，可导函数是一条光滑曲线，即没有出现尖点，如y=x绝对值在x=0处是尖点，故不可导。而且因为可导必连续，所以不连续点（间断点）一定不可导。

从定义上，f'(x0)=lim△x→0

[f(x0+△x)-f(x0)]/△x

我们必须求出函数f(x)

在x=x0处可导的充分必要条件是x=x0处的左右导数都存在且相等，即f'(x0-0)=f'(x0+0)

请采纳。