详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现

概述约瑟夫环问题N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。  

约瑟夫环问题

N个人围成一圈顺序编号，从1号开始按1、2、3......顺序报数，报p者退出圈外，其余的人再从1、2、3开始报数，报p的人再退出圈外，以此类推。  
请按退出顺序输出每个退出人的原序号 

算法思想
用数学归纳法递推。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，若nm非常大，无法在短时间内计算出结果。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,1,2,... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况――这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

实现方法

一、循环链表
建立一个有N个元素的循环链表，然后从链表头开始遍历并计数，如果基数i == m，则踢出该元素，继续循环，直到当前元素与下一个元素相同时退出循环

    

#include <stdio.h>   #include <stdlib.h>   #include <string.h>       typedef struct lnode   {     int pos;     struct lnode *next;   } lnode;           /**    * 构建循环链表&&循环遍历    */   voID create_ring(lnode **root,int loc,int n)   {     lnode *pre,*current,*new;     current = *root;     pre = NulL;         while (current != NulL) {       pre = current;       current = current->next;     }         new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode));     new->pos = loc;     new->next = current;         if (pre == NulL) {       *root = new;     } else {       pre->next = new;     }         // 循环链表     if (loc == n) {       new->next = *root;     }   }       /**    * 约瑟夫环    */   voID kickoff_ring(lnode *head,int p)   {     int i;     lnode *pre,*pcur;     pre = pcur = head;         while (pcur->next != pcur) {       for (i = 1; i < p; i ++) {         pre = pcur;         pcur = pcur->next;       }           printf("%d ",pcur->pos);       pre->next = pcur->next;       free(pcur);       pcur = pre->next;     }     printf("%d\n",pcur->pos);     free(pcur);   }           voID print_ring(lnode *head)   {     lnode *cur;      cur = head;         while (cur->next != head) {       printf("%d ",cur->pos);       cur = cur->next;     }     printf("%d\n",cur->pos);   }       int main()   {     int i,p,n;     lnode *head;         while (scanf("%d %d",&n,&p) != EOF) {       // 构建循环链表       for (i = 1,head = NulL; i <= n; i ++)         create_ring(&head,i,n);           // 约瑟夫环       if (p != 1)          kickoff_ring(head,p);       else         print_ring(head);     }         return 0;   } 

    /**************************************************************
        Problem: 1188
        User: wangzhengyi
        Language: C
        Result: Accepted
        Time:110 ms
        Memory:912 kb
    ****************************************************************/ 

二、数组模拟
思想跟循环链表类似，少了构建循环链表的过程

   

 #include <stdio.h>   #include <stdlib.h>      int main()   {     int i,index,n,remain,delete[3001],flag[3001] = {0};        while (scanf("%d %d",&p) != EOF) {       remain = n;       index = 0;       while (remain >= 1) {         for (i = 0; i < n; i ++) {           if (flag[i] == 0) {             // 报数             index ++;             // 报p者退出圈外             if (index == p) {               // 退出圈外               flag[i] = 1;               // 重新报数               index = 0;               delete[remain - 1] = i + 1;               remain --;             }             }           }       }          // 输出每个退出人的序号       for (i = n - 1; i >= 0; i --) {         if (i == 0) {           printf("%d\n",delete[i]);         } else {           printf("%d ",delete[i]);         }       }     }        return 0;   } 

    三、数学推导
       

#include <stdio.h>      int main(voID)   {     int i,m,last;        while (scanf("%d",&n) != EOF && n != 0) {       // 接收报数       scanf("%d",&m);          // 约瑟夫环问题       for (i = 2,last = 0; i <= n; i ++) {         last = (last + m) % i;       }       printf("%d\n",last + 1);     }        return 0;   } 

总结

以上是内存溢出为你收集整理的详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现全部内容，希望文章能够帮你解决详解约瑟夫环问题及其相关的C语言算法实现所遇到的程序开发问题。

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