简述公理系统的相容性

这个系统的所有构成要素是无矛盾的，任何一个公理系统都要满足无矛盾性。

一个公理系统称为自洽（或称相容、一致），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力。

在一个公理系统中，一个公理被称为独立的，若它不是一个从系统的其它公理可以导出的定理。若一个公理系统中，每个命题及其否定命题中至少有一方可被证明，则称该公理系统为完备 。

指根据公理法而做成的系统。在一个学科中,不是去定义所有的概念,而是选择若干个概念作初始概念,对它们不加定义,而是用它们去定义别的概念,使整个学科的概念形成一个系统。除初始概念和通过定义引进的概念外,其他的概念都是不允许使用的。一个学科不可能对所有的定理都作出证明而是选择其中的几个作为初始公理,对它们不加证明,而是从它们出发去证明其余的定理。

公理和定理都是正确的命题。公理是：1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。

2) 某个演绎系统的初始命题。这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题。在数学上，一个公理系统(axiomatic system,或称公理化系统，公理体系，公理化体系)是一个公理的集合，从这些公理可以逻辑地导出所有的定理。也可以说，公理系统是形式逻辑的一个完整体现。一个数学理论系统是由一个公理系统和所有它导出的定理组成的。比如：欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设，平面几何中的一切定理都可由这五条公理和公设推得。

由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这样的一个认识。

在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是不必证明的，并且还不允许问为什么。同样的道理，西方人的“上帝”也是不允许问是从哪里来的，因为在西方人看来，“上帝”之前整个世界都不存在。

一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些原始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等。

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