matlab解偏微分方程的函数_偏微分方程解法总结

matlab解偏微分方程的函数_偏微分方程解法总结 一.Malthus模型（指数模型）（1）提出以及假设（2）影响人口增长的因素（3）建立模型（4）结论（5）举例（Matlab代码）二.Logistic模型（阻滞增长模型）（1）背景（2）建立 r 的关系式（3）模型建立（4）结论（5）举例（Matlab代码）三.总结1一.Malthus模型（指数模型）（1）提出以及假设指数增长模型，由马尔萨斯在1798年提出基本假设：人口（相对）增长率r是常数（r很小）相对增长率 = 出生率 － 死亡率（2）影响人口增长的因素人口的基数出生率和死亡率年龄结构性别比例工农业生产水平医疗水平政府出台的政策民族政策…（3）建立模型我们用 x(t) 表示 t 时刻的人口那么有结论：随着时间的增加，人口按指数规律无限增长（4）结论可以进行短期的人口预测，较为符合但是之后误差就很大了（5）举例（Matlab代码）eg：已知一组数据如下(懒得打在表格里面了，大家凑合着看吧)：t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];t为年份，p为对应的人口数量，单位为：百万因为马尔萨斯模型为指数函数为了线性拟合数据，我们对其进行如下 *** 作：两边同时取对数：可得：ln(x) = ln(x0) + rtt = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];y = log(p); %求ln(p)函数值a = polyfit(t,y,1) %用一次多项式对t和y进行拟合z = polyval(a,t); %求得以a为系数的多项式在t处的函数值z1 = exp(z)r = a(1)plot(t,p,’bo’,t,z1,’r’) %分别画出散点图以及拟合曲线图xlabel(‘时间’);ylabel(‘人口数量’);legend(‘实际数据’,’理论曲线’);作图如下（短期内基本吻合）：%结果如下，增长率r=0.0274a =0.0274 -47.6717z1 =列 1 至 54.1884 5.5105 7.2498 9.5382 12.5488列 6 至 1016.5097 21.7209 28.5769 37.5969 49.4640列 11 至 1265.0769 85.6179r =0.0274当我们用更多的数据进行长期拟合是就会发现该方法做出来的差别较大！二.Logistic模型（阻滞增长模型）（1）背景由于人口不可能无限制的增长，当人口达到一定数量后，那么增长率就会下降。

我们要模拟这种增长率的变化这里简化的将增长率 r 看做是人口 x 的减函数（2）建立 r 的关系式假设 r(x) = r – sx (r,s>0) 当x很小时，r仍为固有增长率，s为待求系数xm 是当前环境可以容纳的最大人口容量（3）模型建立指数增长模型：（4）结论最终得到 s 型增长曲线，x增长先快后慢，最终接近峰值 xm该模型同样可以用于种群数量中（鱼群的捕捞要控制在 xm/2 附近，而害虫的防治要远远低于 xm / 2）（5）举例（Matlab代码）已知一组数据同上：t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900];p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0];t为年份，p为对应的人口数量，单位为：百万下面代码由两个文件构成：%代码如下t = [1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990];p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4];t = t-1780; %整体减去1780x0 = [150,0.15]; %待定参数x的初值（自己根据实际情况给出初值，之后再不断调整；其中第一个参数为最大人口数，第二个参数为人口增长率）x = lsqcurvefit(‘population’,x0,t,p) %使用函数求得最终的（xm，r）p1 = population(x,t);plot(t+1780,p,’o’,t+1780,p1,’-r*’)title(‘Logistic模型拟合图’)xlabel(‘年’);ylabel(‘人口数’);legend(‘实际数据’,’理论数据’)函数m文件%population.m函数文件function g = population(x,t)%UNTITLED2 此处显示有关此函数的摘要% 此处显示详细说明g = x(1)./(1+(x(1)/3.9-1)*exp(-x(2)*t));end作图如下：结果如下：%第一个参数为 Xm，第二个参数为 rx =337.4308 0.0257三.总结Malthus 和 Logistic 均为宏观模型，它们考虑的方面比较少。

而且不考虑年龄分布。

以下的微观模型考虑年龄结构1）Leslie差分方程模型2）Verhulst偏微分方程模型3）Pollard随机方程模型