如何确定汽车碰撞假人的h点和r点

楼上那位，H点R点跟碰撞有半毛钱关系？

H点是假人放在座位上，座椅全行程调节范围内髋关节中心点的集合，不是具体的一个点。

R点是座椅放在最后、最下时，H点所在的位置，是单独的一个点

“碰撞”在物理学中表现为两粒子或物体间极短的相互作用。碰撞前后参与物发生速度，动量或能量改变。由能量转移的方式区分为d性碰撞和非d性碰撞。d性碰撞是碰撞前后整个系统的动能不变的碰撞。

d性碰撞的必要条件是动能没有转成其他形式的能量（热能、转动能量），例如原子的碰撞。非d性碰撞是碰撞后整个系统的部分动能转换成至少其中一碰撞物的内能，使整个系统的动能无法守恒。碰撞过程时间极短，所以内力总是大于外力，动量必守恒。

据科学家推测，6500万年前撞击地球造成恐龙灭绝的小行星，其撞击点位于现在的墨西哥尤卡坦半岛上的希克苏鲁伯陨石坑，该陨石坑的直径有180公里，科学家估计小行星撞击地球时释放的能量是广岛原子d的100亿倍以上。

科学界普遍认为，在大约6500万年前，一颗直径10公里的小行星撞击地球，撞击释放的能量引发了全球性的火灾，将大气层加热至很高的温度，使地球上的森林绝大部分在短时间内就被烧成灰烬。

小行星撞击地球的时候，其爆炸产生的巨大能量扬起了大量的尘土，同时，小行星撞击加剧了地球上的地质运动，又造成地球上的一些火山爆发，至使大量火山灰喷入大气层。这些细小的尘土遮天蔽日，终日不散，挡住了来自太阳的热量，使地球表面的温度又迅速下降。

如此冰火两重天的气候，导致当时地球上恐龙在短时间内遭受灭顶之灾，另据科学家估计，93%以上的哺乳动物和大部份的其它物种也在该事件中灭绝，万幸的是一些体型较小、适应力较强的哺乳动物得以幸存下来，使得生命的种子得以延续。

是什么原因导致了恐龙的灭绝，一直以来都是最受关注的自然未解之谜。

经过科学家的不断探究和 探索 ，小行星撞击成了造成恐龙灭绝最大的可能。最早提出这一理论的美国著名的物理学家路易斯·阿尔瓦雷茨（Luis Walter Alvarez）和他的儿子，阿尔瓦雷茨曾经获得了诺贝尔物理学奖。

阿尔瓦雷茨父子在研究白垩纪与古近纪交界地层时注意到铱元素的异常富集，而这种元素在地球上并不常见，反而是在陨石、小行星等地外天体中含量丰富，因此他们提出了小行星撞击说，也就是著名的"阿尔瓦雷茨假说"（Alvarez Hypothesis），时间是上世纪70年代。

既然小行星撞击造成了白垩纪-古近纪灭绝事件，恐龙灭绝了，那么小行星撞在哪里呢？肯定会有陨石坑留下来吧？

就在1951年，墨西哥石油公司在墨西哥湾南岸的尤卡坦半岛开凿了多个钻井用于研究地层，其中一个钻井在1300米处发现了安山岩，这种岩石是在高温高压状态下形成，一般见于火山爆发， 或者是陨石撞击。在后来的探测中，石油公司发现了一个由尤卡坦半岛向北深入墨西哥湾中的巨大弧形构造，这个构造与周围的地质结构并不吻合，很像是一个撞击坑。

90年代之后，美国科学家确认了位于尤卡坦半岛的弧形构造是撞击坑，其直径至少有180公里，撞击中心点在希克苏鲁伯村（Chicxulub）附近，因此这个撞击坑被命名为希克苏鲁伯撞击坑（Chicxulub Crater）。希克苏鲁伯撞击坑正是造成恐龙灭绝的小行星撞击之后留下的，其年代与白垩纪-古近纪灭绝事件吻合。

科学家估计，造成希克苏鲁伯撞击坑的小行星直径有10公里，撞击时产生的能量高达40 10^23焦耳，约等于100万亿吨TNT的爆发威力。如果用美军投在广岛的原子d换算，这次撞击的威力相当于70亿颗原子d。

小行星的撞击带来了一系列的地质灾难，包括有地震、火山爆发、海啸、冲击破等等，撞击产生的尘埃进入大气层，将地球包裹住，隔离来自太阳的光和热。在各种灾害的综合作用之下，地球上超过四分之三的物种消失了，其中就包括恐龙。中生代结束，新生代开始。

最后纠正大家几个常见的误解：

第一， 白垩纪-古近纪灭绝事件发生在距今6600万年前而不是6500万年前。2008年，美国加州大学伯克利分校的科学家使用氩-氩年代测定法确定灭绝事件发生在6595万年前，上下浮动4万年，因此白垩纪结束的时间被更新为6600万年前。

第二， 恐龙并没有灭绝，今天的鸟类都是恐龙的后代，所以现在称白垩纪-古近纪灭绝事件中的恐龙灭绝为非鸟恐龙灭绝。

6500万年前小行星撞击点基本上已经确定，就是位于墨西哥附近的尤坦卡半岛。这个撞击坑今天仍然可以通过遥感卫星观测到，直接达到200公里，足以可见其撞击能量有多少强大。

可以在上百公里内的大型动物在撞击发生之后很短时间就全部灭亡，撞击也波及到整个地球，导致了核冬天。大量的尘埃遮挡了大气，导致植物得不到足够的阳光，世界上的阳生植物开始灭亡，那么食草的动物就无法生存了，最后是食肉的动物无法生存。

恐龙作为大型生物，灭绝的是最快的。尤坦卡半岛几乎遭到毁灭性打击，变成一个上百公里直接的坑，引发了强大的海啸席卷全球。

这次撞击也改变了地球生命的格局，大型生物全部死亡，只有体积较小的生物幸存，也给了一种猴子生存的空间，后来演化为今天的人类。

问问专家教授。

起初人们并不知道恐龙的灭绝到底是什么原因，只有众多的猜测，直到发现了希克苏鲁伯陨石坑，这才确定了恐龙的灭绝与小行星撞击有直接的关联。

一颗体型足够大的小行星在撞击地球时会释放出巨大的能量，同时小行星会完全解体，并在剧烈的冲击过程中溅向高空，然后落到世界各处，撞击影响范围的大小与小行星的体型有直接关系，如果小行星足够大，那么扬起的尘埃以及自身的碎片就会溅落到很远的地方，甚至在全球都有覆盖。

上世纪八十年代，物理学家路易斯·阿尔瓦雷茨与他的儿子地质学家沃尔特·阿尔瓦雷茨在白垩纪和古近纪交替的地层年代中发现铱的含量比其它地层中铱的含量要高出很多。我们知道，铱是重金属元素，在地球形成早期，这些较重的元素都沉向了地核，在地壳中的含量极低，可是在白垩纪和古近纪交替的地层中铱的含量却那么高，如此反常的情况引起了他们的注意。

人们发现在地外天体中含有很高的铱，于是这样的情形指向了一种结果：是地外天体撞击地表带来的铱。在地外天体撞击地球表面时，大量的尘埃以及自身碎片被溅向高空，落向四面八方，这次撞击产生的尘埃笼罩着地球，在漫长的尘埃沉降过程中，给下方的地表带来了丰富的铱。人们在各地检测到的数据充分印证了这一观点，在世界各地的白垩纪和古近纪交替的地层中都发现了铱含量的反常增高。

既然确定了在那一时期地球遭受过地外天体的撞击，下一步就是确定撞击的地点：

早在1951年，一家石油公司在墨西哥尤卡坦半岛进行石油勘探时就曾发现经由高温高压形成的岩石，起初这样的情况并未引起他们的注意，他们只是认为这是火山锥的构造，后来石油公司在此处的其它两处钻井中都钻探到了这样的奇怪岩石，更多的证据显示这里曾遭受过陨石撞击。

后来根据卫星测绘出来的数据，可以清晰地看到在这个半岛上存在一个巨大的陨石坑，一半在陆地上，一半已淹没在海洋中。这个庞大的撞击坑平均直径达180公里，经过测定，这个陨石坑的数据与电脑模拟的数据相似，撞击时间也吻合，如此一来便确定了撞击坑的地点。

我们可以畅想一下6500万年前的某一天，在毫无征兆的情况下，一颗直径超过10公里的小行星撞击了今墨西哥尤卡坦半岛，释放了相当于100万亿吨TNT炸药的威力，等同于200万颗大伊万核d同时爆炸，溅起来的尘埃笼罩全球，暗无天日，大量的植物死去，全球性的森林大火在燃烧着，同时地震、火山喷发频繁，6-8个月不见阳光，全球平均气温逐渐升高，由于撞击地点地层中富含硫，撞击过程中产生的二氧化硫给全球大部分地区带来了致命的酸雨，这次撞击给地球生态带来的破坏，地球花了数百万年的时间才将其修复。

文/科学船坞

还记得恐龙灭绝吗？恐龙是在人类出现前就已经生存在地球上的一种生物，不过遗憾的是，距离现在恐龙在大约已经灭绝了6500万年之久了。对于恐龙为何会在6500万年前突然灭绝这个未解之谜在科学家界也是一直众说纷纭，其中最受认同的是小行星碰撞说。

该说法称一颗直径7到10千米，重约13万亿吨的小行星坠落到了地球引起了环境剧变，从而导致恐龙的灭绝。

我们来设想一下，在 6500万年前的某个晚上，你站在北美的某个地方抬头望天空，会看到一颗像星星一样的东西，当你盯上它一两个小时，会发现那颗星星正在变得越来越亮，实际上那并不是一颗普通的星星，而是一颗正在以每小时72万公里的速度向地球飞来的小行星，经过60个小时以后，这颗小行星在大气层炸开了一个洞，最终这个小行星在如今的美洲中部尤卡坦半岛一带撞向了地面。

根据通过粘土层中含有的铱含量，科学家推测出撞击地球的物体直径大约为10公里，这是个什么概念呢？

打个比方来说，如果换成了地震的强度，大约将会达到里氏10级啊！

到了1991年，地质学家们才找见撞击发生的地点——位于北美洲墨西哥境内尤卡坦半岛上，直接给墨西哥砸出一个“大坑”，据了解这个大坑的直径在180~300公里之间，后来大坑被海水填满，才有了现在的这个地方。

由于小行星环撞击形成环太平洋断裂带和特提斯构造域，大量的中生代的生物灭绝！

恐龙的幸存者在太平洋一带的大型生物尸体上度过灾难，成为今天的“动物世界”。

6500万年前小行星撞地球造成恐龙灭绝，撞击点在哪里？

数千年前人类就发现了这种史前生物的化石，但当时并不知道这些石头有什么意义，甚至还将它们拿来当中药材。古人认为这是传说中的龙骨，因此将其描绘成了巨龙的形象！而古代中亚地区的西徐安人，则将当地发现的原角龙化石，添油加醋的描绘成了狮子身体、大型爪、以及鹰头，且守卫黄金的生物，成为狮鹫的最原始来源！

恐龙的黄昏

第一具恐龙化石的发现

1676年英国牛津市附近的出土了一个骨头化石，牛津大学的教授罗伯特‧普劳特鉴定认为是一种大型动物的股骨最下端，不属于任何一种已知生物，它被命名为斑龙！1699年，Edward Lhuyd在牛津市近郊发现一颗牙齿化石，后被鉴定为蜥脚下目恐龙的化石。

恐龙牙齿化石

第一具完整恐龙的化石

1858年化石收藏家威廉·帕克·佛克在新泽西州哈登菲尔德镇的一个泥灰坑中挖出了一具接近完整鸭嘴龙化石，显示恐龙是一种二足动物，早先局部的恐龙化石已经怀疑这是一种二足动物，这次的完整化石则是实锤了！

鸭嘴龙化石

此后奥塞内尔·查利斯·马什与爱德华·德林克·科普开启了一段数十年的恐龙化石发现战，被称为化石战争，他们的发掘十分暴力，甚至用上了炸药，因此破坏了很多有价值的恐龙化石，但他们贡献也非常大两位大佬发现了142个恐龙新品种！

进入二十世纪后，恐龙化石发现更是遍布全球，甚至在南极洲都发现了恐龙化石，这表明在很久以前这些动物曾经遍布全球，根据地层年代测定以及同位素K40测定等综合年代测定方法，这些动物在白垩纪以前的各种地层中都有发现，但在白垩纪晚期后就突然消失了！这表示恐龙在这个时期遭遇到了难以想象的灾难，突然之间就灭绝了！是什么灾难呢？古生物学家一直都想弄清楚这个缘由！

希克苏鲁伯陨石坑的发现

1951墨西哥石油公式在尤卡坦半岛勘探时发现了奇怪的安山岩层，这种成因只有一个原因，高温形成比如火山喷发，但墨西哥湾并没有发现古火山！1978年墨西哥石油公司当时聘请的地质学家格伦·彭菲尔德，在调查地质勘探飞机获取的尤卡坦半岛与墨西哥湾的地磁异常图时发现一个几乎完整的圆形结构，一般位于墨西哥湾，另一半位于尤卡坦半岛，边缘在希克苏鲁伯市附近！

1980年数位地质学家提出恐龙灭绝的原因可能是一颗小行星在白垩纪与第三纪交接期撞击了地球，这个假说似乎非常能说明问题，但苦于找不到撞击坑，似乎需要有外来的证据支持！1981年亚利桑那州大学相关研究人员艾伦·希尔德布兰也提出了类似观点，并且认为撞击点可能在加勒比海附近！

艾伦·希尔德布兰在海地进行了K-T界线的沉积物研究，在地层中找到了大量含的铱、冲击石英，以及类似玻璃陨石的风化物质，还发现了可能因海啸形成的岩石沉积，在加勒比海附近发现了大量这种地层！1990年艾伦·希尔德布兰取得了格伦·彭菲尔德当时的研究资料，并且还取得了1951年时的岩芯，因此以位于希克苏鲁伯市命名的撞击坑的各种证据链逐渐完善！

根据撞击坑的大小相关专家推测，小行星的直径大约有10千米，撞击的能量高达100万亿吨TNT，大约相当于200万颗人类核爆过的最大当量的大伊万氢d（5000万吨TNT当量）。

小行星的撞击冲击波使数千公里范围内的生物彻底毁灭，造成的海啸影响范围这更大，而飞溅物则会落到数千公里外形成洲际大火，然后是更小的尘埃则会在大气环流的作用下漂浮十月甚至数年！而且撞击的震动会导致后续地震和火山频发，大量二氧化碳将进入大气层，成为左右气候的决定性温室气体！有两种理论，一种认为尘埃遮挡会引发雪地地球，另一种认为温室气体会导致地球高温数数千年，但无论哪种，恐龙这种大型生物是彻底玩完了，能幸存下来的只有小型化成功的各种近鸟恐龙。

只有希克苏鲁伯陨石坑吗？

在白垩纪和第三纪交接这个时间段里还有另一个超级陨石坑，相关地质学家认为印度孟买外海的印度洋底，存在着一个400 600千米巨大地质结构，由于地质运动这个结构已经有些变形，但仍然可以估计出当时造成这个结构的小行星直径高达40千米！

湿婆陨石坑构造的成像，红色为高度最高的地方

它的撞击还导致了一系列的后续火山喷发行为，徳干高原上的玄武岩与当时的地质年代是能对应起来的，因此玄武岩的规模显示了这次超级火山的规模，比西伯利亚地盾火山规模略小，但小行星撞击加上火山喷发，恐龙灭绝就没有理由了！当然也有地质学家认为这只是一个超级地盾火山结构而已，到现在为止尚未有定论！但可以确定的是，必定是小行星撞击或者是火山喷发，或者是小行星撞击后的火山喷发导致了恐龙灭绝！

恐龙必须死，因为哺乳动物要活！我们人类得感谢那颗小行星。

恐龙

地球生命在演化过程中并不是一帆风顺的，由于自然地理环境的变化，会造成大规模的生物灭绝。在地球 历史 上发生过两次大规模的生物灭绝事件，第一次是在古生代末期，当时60%以上的海生无脊椎动物都灭绝了，脊椎动物中的原始鱼类和古老的两栖类则全部灭绝，蕨类植物明显衰退。第二次是中生代末期，当时除了统治地球的恐龙灭绝外，海洋中有50%以上的无脊椎动物也都灭绝了。恐龙生活在中生代的三叠纪、侏罗纪和白垩纪，恐龙在地球上生活了16亿年后，大约在6500万年以前，恐龙突然灭绝了，关于恐龙灭绝的原因，有多种猜测，包括小行星撞击说、火山爆发说、造山运动说等学说。

其中，小行星撞击说是最为流行的科学观点，科学家在许多地方的中生代末期的地层内，发现了铱元素含量的异常，高出相邻岩层平均值大约30倍，这成为了支持小行星撞击地球假说的有力证据，因为铱元素在地球表面并不常见，但是在小行星或者陨石中却存在铱元素较高的现象。科学家推测当时有一颗直径大约为10千米的小行星撞击了地球，在北美洲尤卡坦半岛的北部沿海地区，地质学家发现了一个部分淹没于海底的陨石坑，名为“希克苏鲁伯陨石坑”。

希克苏鲁伯陨石坑

这个陨石坑的直径大约为180至200千米，陨石坑中到处开裂的岩石表明，这里曾经发生过剧烈的爆炸，这里很有可能是导致恐龙灭绝的小行星的撞击地点。当小行星撞击地球后，一部分恐龙在撞击中直接死亡，而撞击产生的大量粉尘，，长时间漂浮在大气层中阻挡了太阳辐射，导致植物无法光合作用而死亡，食草恐龙和食肉恐龙由于缺乏食物来源而灭亡。最近有一部名为《末日逃生》的**，讲述的就是一颗彗星撞击地球的故事，和恐龙灭绝的场景十分类似。

恐龙灭绝

与恐龙时代有关的小行星撞击于墨西哥，推测是一颗直径20公里的小行星，形成了直径180公里的撞击坑，冲击波影响半个地球，至少相当于100万亿吨当量核d。

剧烈的冲撞下，小行星的动能迅速转化为热能，使小行星和周围环境迅速升温，并且向四周快速释放，造成了规模庞大的冲击波，引发了地震，周围的一些火山爆发，冲击波席卷了大半个地球，接下来引起了海啸，这也是全球范围的灾难，还使得海洋海水沸腾，影响到几乎整个北美大陆。尽管如此，这颗小行星撞击却并没有直接导致全球恐龙全部死亡，恐龙的灭绝（或者说消失）更多的是由这场灾难引起的环境变化而消失，或者灭绝了或者是残存的一些恐龙进化了。

6500万年前的事件虽然很难追溯，不过像这样广大范围的剧烈撞击，会使得大量尘埃进入大气遮挡阳光，造成温度下降，而随着时间的推移尘埃逐渐又沉降下来，由于小行星或者火山爆发喷发的尘埃性质的关系，可以从地下、冰盖下的一些冰层中获得信息。可以通过钻取岩芯、冰芯的方式了解6500万年前的环境信息。从世界各地获得的信息可以证明，在6500万年前地球上确实很可能发生了“核子冬天”，陆地温度环境变化，一些生物不能适应逐渐灭绝，植物种类也发生了变化，进而导致植食性生物生存危机，最后引发全球范围内的生物灭绝事件。

这个小行星撞击坑是墨西哥一家石油公司在尤卡坦半岛发现的，最宽处180多公里，被称为奇克苏鲁布撞击坑。这个小行星撞击和大量物种灭绝的时间充分地告诉我们“武功再高也怕菜刀”，花花肠子在绝对的力量面前毫无抵抗之力。

这一讲的主题是d性体模拟中的d性力学基础，首先来看一个问题，就是当一个球跟多个球同时发生碰撞，如下图所示（称之为Bernoulli Problem）：

或者当第一个球跟第二个球碰撞的瞬间，第二个球同时与第三个球碰撞，如下图所示（称之为Newton's Cradle）：

这些问题的求解都可以归结为线性互补问题Linear Complementary Problem（简称LCP）的求解，线性互补问题的定义可以参考 物理引擎之约束求解(一)——线性互补问题 。假设有两个刚体（分别标注为1号跟2号），由于每个刚体都有六个自由度（translation+rotation），那么这两个刚体的位置就可以用下述公式来表示：

其中

同样 也有对应的变量表达，而由于刚体是不可穿插形变的，因此q还会有一些额外的约束：

这里的i指的是第i个碰撞点， 可以表示快要碰撞时候两个物体在第i个碰撞点处的signed distance。

如果用上一讲中的impulse-based方法来解方程，那么就意味着我们需要在碰撞的瞬间为两者施加一个冲量，而要想产生冲量，也就意味着两者产生了穿插，前面的条件将不再满足，即：

而如果我们希望在下一个timestep回复到正确的状态，那么上面这个函数的导数就需要是为正的：

这个表达式的物理意义是，等式后面表达式中的前面部分 表达的是碰撞点处的表面的法线（signed distance的梯度就是signed distance下降最快的方向，即表面法线方向），后面部分是刚体的速度，两者相乘大于等于0表示的是这两个向量的夹角小于九十度，也就是说在这个速度下，会使得两者的signed distance不断变大。

在impulse的作用下，速度会从 变成 ，即速度从碰撞变成背离。在Houdini中有个叫做restitution coefficient（恢复系数）的参数 ，这个参数是做什么的呢？用一个例子来说明，一个球在重力的作用下下坠，碰到地表，如果这个参数为0，那么这个小球在碰撞后，就会贴在地表上，如果是1的话，碰撞之后就会回d到起始的高度，也就是说，这个参数表达的是经过碰撞之后能量的残留比例。

将恢复系数跟表面法线结合起来看，我们可以得到如下公式（这个条件我们称之为一号条件）：

如下图所示：

入射方向为 ，出射方向为 ， 可以简单看成是是出射方向的速度的长度与入射方向的速度长度的比例， 是法线方向，那么上面这个公式自然就是成立的，毕竟能量是守恒的，出射速度的长度不可能超过入射速度的长度。

上面这个公式是针对单个碰撞点（contact point）而言的，当我们有多个碰撞点的时候， 就变成了一个矩阵，这个矩阵我们称之为 （这个矩阵的物理含义为，将刚体的速度映射到碰撞点上的沿着法线方向的速度？不是特别理解，如果单个碰撞点的情况，对应的是碰撞点的法线，那么这里就对应的是多个碰撞点法线组成的矩阵，既然是多个碰撞点，也就没有一个整体的法线概念了），这里的转置后面会解释。

另外，这里还有另外一个公式：

这个公式中 表示的是刚体的质量， 是一个矩阵，这个矩阵就是上面梯度向量组成的矩阵的转置（推导这里就不说了，抛开多个碰撞的情况不说，单个碰撞点的情况下，冲量的作用方向肯定是垂直于碰撞表面的，也就是说经过冲量作用后的加速度应该也是与碰撞表面的法线方向保持一致的，从主观上来说，这个结果是可以理解的）， 则是前面说的碰撞时的冲量impulse，如果有多个碰撞点的话，这个变量也就是一个向量（几个碰撞点就是几维的）。矩阵 跟冲量的乘法得到的是一个力，而作用力除以质量就得到了加速度，通过这个加速度（在时间的作用下）就能完成速度的一个变化。

这个公式中，冲量（每个分量）必须要大于等于0（当刚体碰撞时的速度在表面法线方向上的速度非0，且速度法线方向的分量与法线方向相反，那么就取＞0，否则就取等于0），否则在碰撞后，刚体就直接装进另一个刚体中，从而发生穿插，这个条件我们称之为二号条件：

一号条件跟二号条件组成linear complementary condition（即如果 （对应的是碰撞点碰撞之后没有施加冲量，也就是说碰撞时候的速度与表面法线正好垂直，这种情况下，表面法线与速度正交，一号条件不等式前面的结果就是0）的时候，就不需要考虑一号条件；而如果 就必须要考虑一号条件，我们将这种情况称之为互补），最终我们需要求解的问题就可以表示为，在一二号条件：

约束下，求解：

即LCP，这个问题如果我们能够求解出冲量向量，那么我们就能得到需要的解，但是在多个碰撞点的情况下，这个会比较复杂。

Bullet物理引擎用的是一种叫做Gauss Siedal Method，一个个碰撞点去考虑，比如先考虑一号碰撞点的impulse是多少，之后再看一号impulse对二号碰撞点的速度的改变，之后再看二号碰撞点的impulse为多少并加上一号碰撞点的影响，同时算出对三号碰撞点的影响，以此类推，直到最后一个碰撞点对一号碰撞点的影响，不断迭代，经历多轮迭代最终达到一个平衡，这种方法是串行计算，对GPU不友好，性能较差。

另一种方法则是将LCP（这是一种timestep的方法）转换成一个优化问题，这种思想是物理模拟中的一种十分重要的思想，在很多问题的求解上都有应用。

先来说说拉格朗日乘子（ lagrange multiplier ），这是数学上的一种优化策略中的术语，这个优化策略用以在给定的一些等式约束下，求得某个函数的局部极值（极大极小值），这个算法的基本思想可以叙述为，对于一个需要求解极小值（极大值可以转换为极小值）的函数f(x)，已知需要满足g(x) = 0条件（或者说，已知极值是在g(x) = 0条件下满足），那么拉格朗日函数可以表示为：

我们知道，如果不考虑条件函数g(x) = 0的话，f(x)的极值可以直接通过 来求得，而在加上条件之后，问题就会变得复杂一点，上面的拉格朗日函数是自变量x跟 （这个就叫拉格朗日乘子）的函数，而原函数f(x)的极点则肯定会出现在拉格朗日函数的saddle point（极点）上，所以只需要对拉格朗日函数求偏导，并令各个偏导结果为0进行求解，就能得到取得极值的坐标点。

而如果对上面的情况进行泛化处理，比如将条件从等式变成不等式，那么我们就需要使用 KKT（Karush Kuhn Tucker） 条件方法，同样的，KKT会将原始的函数f(x)，与等式约束 以及不等式约束 写到一个式子里：

f(x)取得极值的条件为：

联合这些等式，就能得到最终的极值点的坐标。这里值得一提的是，上面第三个条件中，由于h(x)是小于等于0的，因此要想条件成立，要么h(x) = 0，要么 ，也就是说，这个条件可以拆成两个条件：

且这两个条件是complementary（互补）的，如果移除g(x)的干扰，这个条件就跟前面LCP问题的求解的形式完全一致了，也就是说，LCP的求解就变成了KKT（优化问题）的求解，而这种问题的求解方法就十分丰富了，这里就不做展开，否则可以直接讲一个学期。

但是我们发现，用LCP来求解Bernoulli Problem可以得到正确的结果，但是用来求解Newton Cradle问题的时候结果却是错误的，这是因为理论上LCP问题的求解是不唯一的，也就是说我们得到的解有多个，其中选取的那个可能并不是正确的解。

这里需要注意的是，上面的求解是没有考虑碰撞时的摩擦力的，实际上如果添加了摩擦力的话，问题会变得更为复杂。但是有意思的是，即使加上摩擦力，依然可以表达为LCP问题（不过更为复杂），转化成的优化问题，其限制条件将会变成二次函数，因此其求解也会变得更为复杂。

最后做个总结，在目前情况下的物理引擎，对刚体碰撞的模拟依然是存在较大的精度问题，比如说大多数都没有办法解决上面的Bernoulli跟Newton Cradle问题，即使是不考虑摩擦力的情况，目前都没有物理引擎能给出完善的解决方案，更何况是更为精确的考虑摩擦力的情况。

Continuum Mechanics中描述了形变的相关理论，包括d性形变与塑性形变，我们这里着重考察d性形变。

最简单的d性形变就是前面说的d簧+质点的粒子系统，当质点不断移动从而压缩d簧的话，d簧就会不断的积累势能，当手松开之后，势能可能就会转换为动能，此时d簧产生的力叫做conservative force。

但是d性形变不只是局限于d簧系统，普通的物件也会发生此类形变，但是这里有亮点需要明确：

可以知道，d性体的形变是一个连续的变化，即形变前相邻的点在形变后依然是相邻的。我们可以利用微分思想来对这个连续的规律进行考虑，假设形变前物体上某一点X（处在material space）经过形变后变成了点x（处在deformed space），那么形变就可以表示成如下的公式：

对这个映射关系采用泰勒展开：

由于 是一个三维的变量（三维空间中的点），因此上面公式中的偏微分项 就是一个3x3的矩阵，这个矩阵我们叫做deformation gradient（形变梯度矩阵），通常用F来表示。

从这个公式我们可知道，这个矩阵的第一列进行乘法运算时对应的是 的第一个元素，换句话说，第一列就是在material space中沿着x方向移动一个距离时，在deformed space中就需要沿着某个方向移动一个相同大小的距离，这个方向就用第一列向量来表示，同理，其他两列就分别对应y/z方向上移动时对应的deformed space中的移动方向。

接下来我们看看要如何用数学公式表示物体的d性形变长度，假设在material space中某个点移动的位移为 ，那么移动的长度的平方就可以表示为 ，而在deformed space中对应点的移动位移就可以用 来表示，其长度则为 ，那么具体的形变量就可以用后者开平方后减去前者的开平方，不过这里为了避免因为开平方导致的高额计算消耗，可以先直接用平方之差来表示形变的测度：

上面等式中最后的 称之为Green（格林） Strain（形变） Tensor（本质上是个矩阵），这个矩阵可以用来描述微分意义下物体形变的规律，可对于推导或者计算出这个 的点X而言，在其周边较小的一块区域（微分算子）里的所有点都可以通过这个矩阵来计算其形变量，但是，如果超出这个区域范围， 可能会不同，也就是说， 准确来说是物件上某点的一个函数，可以写成

接下来，就是如何将前面的 变成势能，势能可以表示为如下形式的函数：

我们知道，这个函数有如下的性质：

根据上面两个性质，我们可以推断，这个函数可以大致用下图来表示：

至少是一个两阶以上的模型，应用泰勒展开，可以得到：

而由于 跟 都是0，那么上面公式就变成了：

由于 是个矩阵，那么这个公式就可以改写成如下的形式，这个公式我们称之为constitution model：

到目前为止，所有的公式都是通过数学推导给出的，没有掺杂物理相关的概念与理论，接下来，为了能够得到上面的公式的具体形式，就需要给出系数 ，而物理学中针对这个系数提出了众多的模型，甚至还有人考虑通过神经网络训练得到这个系数，这就造成了不同的势能物理模型。

要知道这个公式是如何在物理中进行应用的，我们就放到下一讲中进行介绍了。

在cocos2d-x中已经提供了矩形与矩形的碰撞检测以及点与矩形的碰撞检测，如下:

检测矩形与矩形碰撞的函数：

bool intersectsRect(const CCRect &rect) 使用方法： rect1intersectsRect(rect2);

检测点与矩形碰撞的函数： bool containsPoint(const CCPoint &point) 使用方法： rectcontainsPoint(point);

下面重点说矩形与圆形的碰撞检测： PS：先说一下cocos2d-x中的矩形Rect，Rect的构造有四个参数，x, y, width, height,

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