高等数学，求下面幂级数的收敛域，求过程

这是一个等比级数：公比是q=lgx, 绝对值小于1就是收敛，即：-1<lgx<1,得1/10<x<10
又：当lgx=-1或1是级数都发散，从而收敛域为（1/10,10）

先求收敛半径：
lim|an/an+1|=
lim√(n+2)(n+3)/√(n+1)(n+2)=1
则收敛区间为(-1,1)
x=-1时，级数发散(与调和级数比较)
x=1时，级数收敛，
所以，收敛域为(-1,1]
2先求收敛半径：lim|an/an+1|=
lim(n+1)2^(n+1)/(n2^n)=2
则收敛区间为
-1<x+1<1,
所以-2<x<0
x=-2时，级数收敛
x=0时，级数发散(与调和级数比较)
所以，收敛域为[-2,0)

用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径。收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。

1、收敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 |z -a| <r时幂级数收敛，在 |z -a| >r时幂级数发散。幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。

2、如果幂级数中的幂次是按自然数顺序依次递增的，即该级数是不缺项的幂级数，可用两种方法即系数模比值法和系数模根值法求其收敛半径R。如果幂级数中的幂次不是按自然数的顺序依次递增的（比如缺奇次幂或缺偶次幂等）必须直接使用比值审敛法。

3、因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就是常值级数收敛性的判定，所以函数项级数的收敛域的计算一般基于常值级数判定的方法，常用的是基于取项的绝对值的比值审敛法与根值判别法。

幂级数后项系数与前项系数比的极限是1，所以收敛半径R＝1当x＝1时，级数收敛；当x＝-1时，级数收敛。故幂级数的收敛域是[-1,1)。

设f(x)＝∑(n＝1,∞) x^n/(n+1)，则有xf(x)＝∑(n＝1,∞) x^(n+1) /(n+1)。上式两边对x求导，得[xf(x)] '＝∑(n＝1,∞)x^n＝x/(1-x)。

所以xf(x)＝∫(0,x)t/(1-t) dt＝-x-ln|1-x|。因此，f(x)＝-1-ln|1-x|/x。

幂函数的性质：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

1、当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

问题一：求幂级数的收敛区间 首先lim{n→∞} (2/3)^n = 0
进而1 = lim{n→∞} 1-(2/3)^n ≤ lim{n→∞} (1+(-2/抚3)^n)^(1/n) ≤ lim{n→∞} 1+(2/3)^n = 1
故lim{n→∞} (1+(-2/3)^n)^(1/n) = 1
又lim{n→∞} n^(1/n) = 1
可得lim{n→∞} ((3^n+(-2)^n)/n)^(1/n) = 3・lim{n→∞} ((1+(-2/3)^n)/n)^(1/n) = 3
可知幂级数的收敛半径为1/3
只需讨论端点处的敛散性
对x = 1/3, 通项为(1+(-2/3)^n)/n, 是一个与1/n等价的正项级数, 由比较判别法知其发散
对x = -1/3, 通项为((-1)^n+(2/3)^n)/n ∑(2/3)^n/n与∑(-1)^n/n均收敛, 故x = -1/3时收敛
综合得收敛域为[-1/3,1/3)

问题二：求中幂级数的收敛区间 要过程 谢谢 都可以用D'Alembert判别法, 幂级数在收敛半径内绝对收敛
1 第n项: (x-6)^n/(n!・6^n)
第n+1项: (x-6)^(n+1)/((n+1)!・6^(n+1))
当n → ∞时, 比值(x-6)/(6(n+1)) → 0, 对任意x成立
因此幂级数收敛区间为(-∞,+∞)
2 第n项: n!(x-6)^n/6^n
第n+1项: (n+1)!(x-6)^(n+1)/6^(n+1)
当n → ∞时, 比值(n+1)(x-6)/6 → ∞, 对任意x ≠ 6成立
因此幂级数只在x = 6处收敛
3 第n项: (x-6)^n/6^n
第n+1项: (x-6)^(n+1)/6^(n+1)比值为常数(x-6)/6
当|x-6| 6, 级数发散
当|x-6| = 6, 级数通项不收敛到0, 因此级数发散
因此幂级数只对|x-6| 问题三：幂级数收敛域和收敛区间有什么区别，收敛域和收敛区间分别该怎么求 收敛区间是个开区间，而收敛域就是判断在收敛区间的端点上是否收敛
就像你求出一个级数的收敛半径为5那么此时收敛区间为(-5，5)而下一步求收敛域就带x＝-5和x＝5，分别看是否收敛
比如x＝-5时收敛，x＝5时发散那么收敛域为[-5，5)

问题四：收敛区间怎么求 9、分成两个幂级数
分别求收敛半径
取半径小的，计算收敛区间

过程如下图：

问题五：求幂级数和函数，幂级数收敛区间 100分 你好！可以如图用求导求积法求出和函数，需要先讨论收敛域。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

问题六：幂级数的收敛域与收敛区间有什么具体区别？ 假设已经求出了幂级数的收敛半径R，
所问的幂级数的收敛区间是指开区间（-R，R）；
再判断出该幂级数在x= -R以及x=R处是否收敛，
把这两点、也就是开区间（-R，R）的两个端点考虑进来，就是收敛域。
比如若是在x= -R收敛，在x=R发散，则收敛域为[-R，R）。

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