floyd算法

核心思路

通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。

从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

采用的是(松弛技术)，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。所以时间复杂度为O(n^3)

其状态转移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}

map[i,j]表示i到j的最短距离

K是穷举i,j的断点

map[n,n]初值应该为0，或者按照题目意思来做。

当然，如果这条路没有通的话，还必须特殊处理,比如没有map[i,k]这条路

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算法过程

把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。

定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。

把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。

在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。

比如，要寻找从V5到V1的路径。根据D，假如D(5,1)=3，D(3,1)=2，D(2,1)=1则说明从V5到V1经过V3，从V3到V1经过V2，V2到V1直接相连，路径为{V5,V3,V2,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。

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时间复杂度

O(n^3)

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优缺点分析

Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算法。

优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的最短距离，代码编写简单；

缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。

这是一个我写的Floyd算法的程序。w是图的邻接矩阵需要事先输入并保存在工作空间中，调用方法为：[D,path]=floyd(w)。给出的结果D为路径的邻接矩阵，path为路径所经过的端点顺序。

程序为：

function [D,path]=floyd(w)

%D R a

n=size(w,1)

%设初值

D=w

path=zeros(n)

for i=1:n

  for j=1:n

      if D(i,j)~=inf

          path(i,j)=j

      end

  end

end

%迭代，更新D path

for k=1:n

  for i=1:n

     for j=1:n

        if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j)

           D(i,j)=D(i,k)+D(k,j)

           path(i,j)=path(i,k)

        end

     end

  end

end

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