开刷：《信号与系统》 Lec #10 离散时间傅里叶级数和变换

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

p.133 - p.147

p.150 - p.152

p.155 - p.159

p.227 - p.236

首先我们证明复指数信号 是LTI系统的特征函数，假设LTI系统的单位脉冲响应为 ，输入 ，那么输出可以通过卷积和得到，

令 ，那么

得证 是离散LTI系统的特征函数， 是特征值。

在傅里叶分析中，只考虑 的情况，也即 ，因此仅考虑 形式的复函数。

回忆第一章学习离散时间周期信号时，一个与连续时间周期信号非常重要的不同点，就是成谐波关系的周期信号只有 个，因为在频率上相差 的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的！那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个 有限项级数 。

定义一个离散时间周期信号 ，

基波周期为使上式成立的最小正整数 ，基波频率 。傅里叶分析中我们使用复指数函数 就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号，它们都是周期的，其基波频率都是 的倍数，

因为对于谐波函数来说，频率相差 的整数倍时，两函数相等，具体来说就是谐波函数只有 个，

我们希望利用 的线性组合来表示一个更为一般的周期信号 ，即

注意上面求和中，求和限为 ， 可以从0到 ，也可以1到 ，也可以其他任意 个连续整数。

对于复指数 这样一个周期信号，在一个周期内对自变量 求和，

仔细观察上面的求和式，当 时， 为一个常数1，这时对 求和结果就是 ；而当 取其他值时， 是一个周期信号，周期为 ，那么在周期内对 求和结果为0。

基于以上推导，我们现在来想办法求傅里叶级数系数 。将 的傅里叶级数表达式重写在下面，

首先，左右两边同时乘以 ，

再对自变量 在 内求和，

交换上式等号右边的求和顺序可得，

想不明白上面求和顺序变换的话，可以笨办法展开求和，发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个 行 列的矩阵元素的和，你可以横着求和也可以竖着求和；又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和，可以for i包含for j，也可以for j包含for i，这个求和顺序不会影响求和结果。

回到上面的等式，等号右边有一个求和

当 时（或者说相差 的整数倍，我这里就简单点不严谨一下），这个求和结果等于 ；如果 ，这个求和结果为0。

那么可以写出下面这个式子，

这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了，

回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解，和这里思路一模一样，都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。

此外，除了 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，与连续时间不同的是，因为

所以，

也就是说， 的值是以 为周期重复的。

由于 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象。

上面的求和就是 周期卷积 。

这篇笔记一开始，我们定义了 ，

其中 是LTI系统的单位脉冲响应。 被称作 系统函数 ，将 局限在 形式的系统函数被称为系统的 频率响应 ，

令LTI系统输入 为一个周期信号，其傅里叶级数表示为，

输出就是，

考虑某一序列 ，具有有限持续期，也就是说对于整数 和 ，在 的范围之外， 。由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ，使得对 来说， 是它的一个周期。随着 的周期 增大， 就在更长的时间间隔内与 相等，而当 时， 。

写出周期信号 的傅里叶级数表达，

因为在 区间内， ，所以 可以写作，

又因为在 区间外，有 ，所以

现定义函数

那么

其中 表示频域中的样本间隔。将 代回到 的傅里叶级数综合公式中，

又因为 ，

随着 ，上式中的求和演变为一个积分，积分宽度为 ，因为求和是对 个宽为 的间隔内完成的，所以积分宽度为 。

上式就是离散时间傅里叶变换。

在离散时间中，由于频率相差 的复指数信号是完全一样的 ，所以

如果 是绝对可积的，即

或者信号 的能量是有限的，即

那么 的傅里叶变换 就是收敛的。

对于综合公式，因为积分区间是有限的，因此一般不存在收敛问题，而且也不会有吉布斯现象。

与连续时间相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号，

我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时，知道 的傅里叶变换就是一个发生在 处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对 来说必须是周期的，周期为 ，那么 的傅里叶变换应该就是发生在 、 、 等处的冲激，即

为了验证上式，求 的傅里叶逆变换，

注意看，这里积分区间为 ，因此整个积分区间内只会有一个冲激，假设积分区间内的冲激发生在 ，那么

这就证明了

现在我们考虑一个周期序列 ，周期为 ，其傅里叶级数为

那么我们就可以写出 的傅里叶变换

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常用的几种方法：

1.工作危害分析法(JHA)

工作危害分析法是一种定性的风险分析辨识方法，它是基于作业活动的一种风险辨识技术，用来进行人的不安全行为、物的不安全状态、环境的不安全因素以及管理缺陷等的有效识别。

2. 安全检查表分析法(SCL)

安全检查表法是一种定性的风险分析辨识方法，它是将一系列项目列出检查表进行分析，以确定系统、场所的状态是否符合安全要求，通过检查发现系统中存在的风险，提出改进措施的一种方法。

3. 风险矩阵分析法(LS)

风险矩阵分析法是一种半定量的风险评价方法,它在进行风险评价时，将风险事件的后果严重程度相对的定性分为若干级，将风险事件发生的可能性也相对定性分为若干级，然后以严重性为表列，以可能性为表行，制成表，在行列的交点上给出定性的加权指数。

4.作业条件危险性分析法(LEC)

作业条件危险性分析法是一种半定量的风险评价方法,它用与系统风险有关的三种因素指标值的乘积来评价 *** 作人员伤亡风险大小。三种因素分别是：L(事故发生的可能性)、E(人员暴露于危险环境中的频繁程度)和C(一旦发生事故可能造成的后果)。

5.风险程度分析法(MES)

风险程度分析法是是一种半定量的风险评价方法,它是对作业条件危险性分析法(LEC)的改进。

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