什么是海伦公式

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

勾股定理在三维空间的推广：

直角四面体三个直角三角形侧面的面积之平方和等于底面面积的平方。

记底面三条边为a,b,c，顶点发出的三条互相垂直的棱为x,y,z

a²=y²+z², b²=z²+x², c²=x²+y²

代入海伦公式的秦九韶形式计算底面积S：

4S²=a²b²-[(a²+b²-c²)/2]²

=(y²+z²)(z²+x²)-(z²)²

=x²y²+y²z²+z²x²

=4(S1²+S2²+S3²)

发展简史：

古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。

这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。

中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。

海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

以上内容参考百度百科 海伦公式

1、先来看海伦公式：三角形面积S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]，

其中P=(A+B+C)/2

A、B、C表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。

2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）

S=√[P(P-A)(P-B)(P-C)]

=（1/4）√[(A+B+C）（A+B-C）（A+C-B）（B+C-A）]

变形1

=（1/4）√{[（A+B）^-C^][C^-（A-B）^]}

变形2

=（1/4）√{（A^+B^-C^+2AB）[-（A^+B^-C^-2AB）]}

变形3

=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^]

变形4

3、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为

A、B、C。A为底边。过顶点作与A垂直的高H，把A分成两部分X、Y

根据勾股定理可得以下三式：

X=A-Y

第1式

H^=B^-Y^

第2式

H^=C^-X^

第3式

根据第2、3式可得B^-Y^=C^-X^

第4式

把第1式的X=A-Y代入第4式并化简可得

Y=（A^-C^+B^）/2A

第5式

根据第2式可得

H=√（B^-Y^）

=√[B^-（A^-C^+B^）/4A^]

={√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

三角形面积S=（1/2）*AH

=（1/2）*A*{√[4A^B^-（A^-C^+B^）^]}/2A

=（1/4）√[4A^B^-（A^+B^-C^）^

]

这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。

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