已知有效信息位为01101110,求海明码的生成和校验过程?

将K位检测位记作Ci(i=1,2,4,8...)分别安插在n+k位代码编号的第1,2,4,8,16...位上.

01101110(n=8)根据2的k次方大于等于n+k+1,可求出配置成海明码需增添检测位k=4,

原码01101110记作B8,B7,B6,B5,B4,B3,B2,B1.

则原码同检测位的位置安排如下：

二进制序号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

名称 C1 C2 B8 C4 B7 B6 B5 C8 B4 B3 B2 B1

如果按配偶原则来配置海明码,则

C1应使1,3,5,7,9,11位中的“1”的个数为偶数；

C2应使2,3,6,7,10,11位中的“1”的个数为偶数；

C4应使4,5,6,7,12位中的“1”的个数为偶数；

C8应使8,9,10,11,12位中的“1”的个数为偶数；

故C1应为3位⊕5位⊕7位⊕9位⊕11位,即C1=B8⊕B7⊕B5⊕B4⊕B2

故C2应为3位⊕6位⊕7位⊕10位⊕11位,即C2=B8⊕B6⊕B5⊕B3⊕B2

故C4应为5位⊕6位⊕7位⊕12位,即C4=B7⊕B6⊕B5⊕B1

故C8应为9位⊕10位⊕11位⊕12位,即C8=B4⊕B3⊕B2⊕B1

即,

C1=B8⊕B7⊕B5⊕B4⊕B2=0⊕1⊕0⊕1⊕1=1

C2=B8⊕B6⊕B5⊕B3⊕B2=0⊕1⊕0⊕1⊕1=1

C4=B7⊕B6⊕B5⊕B1=1⊕1⊕0⊕0=0

C8=B4⊕B3⊕B2⊕B1=1⊕1⊕1⊕0=1

故01101110的海明校验码为C1 C2 B8 C4 B7 B6 B5 C8 B4 B3 B2 B1=110011011110

再学学哦

1.海明码的概念

海明码是一种可以纠正一位差错的编码。它是利用在信息位为k位，增加r位冗余位，构成一个n=k+r位的码字，然后用r个监督关系式产生的r个校正因子来区分无错和在码字中的n个不同位置的一位错。它必需满足以下关系式：

2^r>=n+1 或 2^r>=k+r+1

海明码的编码效率为：

R=k/(k+r)

式中 k为信息位位数

r为增加冗余位位数

2.海明码的原理

在数据中间加入几个校验码，将玛距均匀拉大，将数据的每个二进制位分配在几个奇偶校验组里，当某一位出错，会引起几个校验位的值发生变化。

海明不等式：

校验码个数为K，2的K次幂个信息，1个信息用来指出“没有错误”，其余2K-1个指出错误发生在那一位，但也可能是校验位错误，故有N<=2的K次-1-K能被校验。

海明码的编码规则：

1.每个校验位Ri被分配在海明码的第2的i次的位置上，

2.海明玛的每一位（Hi)是由多个/1个校验值进行校验的，被校验玛的

位置玛是所有校验这位的校验位位置玛之和。

一个例题：

4个数据位d0,d1,d2,d3, 3个校验位r0,r1,r2，对应的位置为：

d3 d2 d1 r2 d0 r1 r0 ======b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1

校验位的取值，就是他所能校验的数据位的异或

b1为b3,b5,b7的异或，b2为b3,b6,b7 b4为b5,b6,b7

海明玛传送到接受方后，将上三式的右边（b1,b2,b4)的逻辑表达式分别

异或上左边的值就得到了校验方程，如果上题采用偶校验

G1=b1 b3 b5 b7的异或

G2=b2 b3 b6 b7的异或

G3=b4 b5 b6 b7的异或

若G1G2G3为001是第四位错

若为011是第六位错

3.海明码的生成与接收

特注：以下的+均代表异或

方法一：

1)海明码的生成。

例1.已知：信息码为："0010"。海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

求：海明码码字。

解：1)由监督关系式知冗余码为a2a1a0。

2)冗余码与信息码合成的海明码是："0010a2a1a0"。

设S2=S1=S0=0,由监督关系式得：

异或运算：

a2=a4+a5+a6=1

a1=a3+a5+a6=0

a0=a3+a4+a6=1

因此，海明码码字为："0010101"

2)海明码的接收。

例2.已知：海明码的监督关系式为：

S2=a2+a4+a5+a6

S1=a1+a3+a5+a6

S0=a0+a3+a4+a6

接收码字为："0011101"(n=7)

求：发送端的信息码。

解：1)由海明码的监督关系式计算得S2S1S0=011。

2)由监督关系式可构造出下面错码位置关系表：

S2S1S0

000

001

010

100

011

101

110

111

错码位置

无错

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

3)由S2S1S0=011查表得知错码位置是a3。

4)纠错--对码字的a3位取反得正确码字："0 0 1 0 1 0 1"

5)把冗余码a2a1a0删除得发送端的信息码："0010"

方法二：(不用查表，方便编程)

1)海明码的生成（顺序生成法）。

例3.已知：信息码为：" 1 1 0 0 1 1 0 0 " (k=8)

求：海明码码字。

解：1)把冗余码A、B、C、…，顺序插入信息码中，得海明码

码字:" A B 1 C 1 0 0 D 1 1 0 0 "

码位: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

其中A,B,C,D分别插于2的k次方位(k=0,1,2,3)。码位分别为1,2,4,8。

2)冗余码A,B,C,D的线性码位是：(相当于监督关系式)

A->1,3,5,7,9,11；

B->2,3,6,7,10,11；

C->4,5,6,7,12；(注 5=4+1；6=4+2；7=4+2+1；12=8+4)

D->8,9,10,11,12。

3)把线性码位的值的偶校验作为冗余码的值(设冗余码初值为0)：

A=∑(0,1,1,0,1,0)=1

B=∑(0,1,0,0,1,0)=0

C=∑(0,1,0,0,0) =1

D=∑(0,1,1,0,0) =0

4)海明码为:"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

2)海明码的接收。

例4.已知：接收的码字为："1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0"(k=8)

求：发送端的信息码。

解：1)设错误累加器(err)初值=0

2)求出冗余码的偶校验和，并按码位累加到err中：

A=∑(1,0,1,0,1,0)=1 err=err+20=1

B=∑(0,0,0,0,1,0)=1 err=err+21=3

C=∑(1,1,0,0,0) =0 err=err+0 =3

D=∑(0,1,1,0,0) =0 err=err+0 =3

由err≠0可知接收码字有错，

3)码字的错误位置就是错误累加器(err)的值3。

4)纠错--对码字的第3位值取反得正确码字：

"1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0"

5)把位于2的k次方位的冗余码删除得信息码："1 1 0 0 1 1 0 0"

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