在离散傅里叶变换中引起频谱混叠和泄漏的原因?怎样减小这种现象?

看了一下前面的回答，发现大家把离散傅里叶变换中的频谱混叠概念与连续信号采样的时域奈奎斯特采样定理搞混淆了。时域采样定理要求采样率fs不低于信号最高频率的两倍即可无失真的从采样信号恢复出原模拟信号，否则采样信号会因为频谱混叠而失真。这里对奈奎斯特采样定理展开讨论，有兴趣的同学可以去翻书看看。下面重点介绍一下离散傅里叶变换中的频谱混叠概念。

设任意序列x(n）的Z变换为

X(z）=∑x(n）z^-n （-n是z的指数，n求和范围是-∞到+∞）

且 X(z) 的收敛域包含单位圆（即x(n)存在傅里叶变换）。在单位圆上对 X(z) 等间隔采样N点，得到

X(k) = X(z)|z=e^j2πk/N = ∑x(n)W^kn

( W就是DFT算子，具体可以看书上，这里不不方便输入公式，n求和范围是-∞到+∞，0≤k≤N-1）

显然，上式表示在区间[0，2π]上对x（n）的傅里叶变换X(e^jω）的N点等间隔采样。

将X(k)看做长度为N有限长序列xN(n)的DFT，即

xN(n) = IDFT[X(k)]             0≤n≤N-1

那么由此可以推导 xN（n）与原序列x（n）的关系，并导出频率采样定理。

由DFT和DFS的关系可知，X(k)是xN(n）以N为周期的周期延拓序列x'(n)的离散傅里叶级数系数X'(k)的主值序列，即

X'(k) = X( (k) )N = DFS[ x'(n) ]

X(k) = X'(k)RN(k)            ( RN(k) 是长度为N的矩形窗序列，用来取周期空宏序列的主值序列）

x'(n) = xN( (n) )N = IDFS[ X'(k) ] = [ ∑X（k）W^kn ]/N

将X(k）代入上式，最后化简得

x'(n) = ∑x(n+iN）    （ i求和范围是-∞到+∞ ）

所以

xN(n) = x'(n)RN(n) = ∑x(n+iN)RN(n)  （ i求和范围是-∞到+∞ ）

这说明 X(z) 在单位圆上的N点等间隔采样 X(k) 的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。故，可以总结出频域采样定游亏旅理：

如果序列 x(n) 的长度为M，则神凳只有当频域采样点数 N≥M 时，才有

xN(n) = IDFT [ X(k) ] = x(n)

即可由频率采样 X(k) 恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。

仔细看这些加粗的地方，多么熟悉的味道，频率采样点数不够会导致时域混叠，跟时域采样速率不够引起频谱混叠，这就是两个概念非常容易混淆的地方，因为在数字信号处理领域，时域和频域的很多性质都是对偶的。

至于频谱泄露的问题，前面已经解释的很好，我就不班门弄斧了。

解释：频率混叠现象是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象。抽样时频率不够高，抽样出来的点既代表了信号中的低频信号的样本值，也同时代表高频信号样本值，在信号重建的时候，高频信号被低频信号代替，两种波形完全重叠在一起，形成严重失真。

说明：频率混叠是数字信号处理中的一个重要概念，它是数字信号处理中的特有现象，是数字信号中离散采样引起的。凡是等步长离散采样一定会产生频率混叠现象。频率混叠会产生假频率、假信号、会严重的影响测量结果。采样频率小于模拟信号中所要分析的最高分量的频率的2倍，就会发生。

混叠（英语：Aliasing），在信扰缺携号频谱上可称作叠频；在影像上可称作叠影，主要来自于对连续时间信号作取样以数字化时，取样频率低于两倍奈奎斯特频率。

在统计、信号处理和相关领域中，混叠是指取样信号被还原成连续信号时产生彼此交叠而失真的现象。当混叠发生时，原始信号无法从取样信号还原。而混叠可能发生在时域上，称做时间混叠，或是发生在频域上，被称作空间混叠。

在视觉影像的模拟数字转换或音乐信号领域，混叠都是相当重要的议题。因为在做模拟-数缓伏字转换时若取样频率选取不当将造成高频信号和低频信号混叠在一起，因此无法完美地重建出原始的信号。为了扮激避免此情形发生，取样前必须先做滤波的 *** 作。

混叠是指取样信号被还原成连续信号时产生彼此交叠而失真的现象。当混叠发生时，原始信号无法从取样信号还原。而混叠可能发生在时域上，称做时间混叠，或是发生在频域上，被称作空间混叠。

在视觉影像的模拟数旦判字转换或音乐信号领域，混叠都是相当重要的议题。因为在做模拟-数字转换时若取样频率选取不当将造成高频信号和低频信号混叠在一起，因此无法完美地重建出原始的信号。为了避免此情形发生，取样前必须先做滤波的 *** 作。

不会混叠的条件

一个信号的最高频率比如是fmax，那它的频谱就是在-fmax~fmax之间有亩卜值。

对这个信号进行时域采样(就是取离散的点)，设采样率为fs。

有一个定理：对信号进行时域fs的 采样，信号的频谱就会在频域以fs为周期重复。

那么如果fs>=2fmax，可想而知，频域宽度为fs的频带内模耐改，是可以放得下一整个完整的频谱的，所以不会混叠。

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