如何证明一个向量空间是另一个向量空间的子空间

很显然,若V1包含于V2,则两者之并就是V2,是V的子空间反之,用反证法证明若两个子空间V1并V2＝W是V的子空间,但V1不是V2的子集,V2也不是V1的子集,因此存在a位于V1但不位于V2,b位于V2但不位于V1,

你的问题究竟在哪里呢？这句话
”怎么求U 和 V分别是Pol3(R)的 subspace “
实在是不通顺。
按定义U和V就是Pol3(R)的子空间。
show只能翻译成“证明”
首先，Pol3(R)是一个线性空间，事实上，等价于一个四元组(a,b,c,d)，a,b,c,d是3次项，2次项，1次项和常数项的系数。由于多项式相加就是同类项的系数相加，所以Pol3(R)是一个线性空间
U = {(a,b,c,d) : a+2b-c=0, a-b+d=0}。显然U是一个齐次线性方程的解，而齐次线性方程的解构成一个线性空间（解空间），所以U是线性子空间
V = {(2a-b+3c,a+b,a+c,c-d)}
(2a-b+3c,a+b,a+c,c-d) = a(2,1,1,0) + b (-1,1,0,0) + c(3,0,1,1)+d(0,0,0,-1)
由于a,b,c,d是任取的，所以V中的向量是(2,1,1,0),(-1,1,0,0),(3,0,1,1),(0,0,0,-1)这四个向量的任意线性组合，就是说V是它们张成的线性子空间。

道理很简单，先证n维空间中有无穷多个1维子空间（这个容易，n维空间任一组基有无穷个线性组合），然后由正交补空间的唯一性得n-1维子空间有无穷个，依此类推n-1维子空间有无穷多n-2维子空间2维子空间有无穷多个1维子空间，从而得出n维空间有无穷多个任意小于n维子空间

这是线性空间子空间的一种判定方法：
设v是数域p上的线性空间，w是v的子集，如果对任意的x、y属于w和任意的k属于p，有x+ky属于w，则w是v的子空间。
证明也很简单：
首先，0=x+(-1)x属于w；
其次，令k=1，则w对加法封闭；
最后，任务x属于w，k属于p，则x+(k-1)x=kx属于w
所以w是v的子空间

子空间有多个意义，出现在不同领域。在数学上，子空间指的是维度小于全空间的部分空间。所谓空间，所指为带有一些特定性质的集合，是故子空间可以算是子集合。在科幻上，比如在星际旅行中的设定，是一种具有特殊性质的额外连续体，有别于寻常的(3+1)维时空连续体。这样的设定原先用意是想回避爱因斯坦所提相对论中的光速限制。

要想证明R^4的子集v是否为R^4的子空间,只须证明子集v对"加法"和"数乘"两种运算是封闭的即可
也就是假设2个行向量,分别为x=(X1,X2,X3,X4)和y=(Y1,Y2,Y3,Y4)都属于v,证明x+y和kx仍属于v
其中x+y=(X1+Y1,X2+Y2,X3+Y3,X4+Y4),不难看出x+y仍在v中对加法封闭
kx=(kX1,kX2,kX3,kX4),显然也在v中,对数乘也封闭
最后,综上所述,子集v是R^4的子空间

望采纳!

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