高阶等差数列与差分方法

对一个给定的数列 的相邻两项作差,得到一个新数列

这个数列称为 的一阶差数列如果记该数列为 ,其中 ,那么再求 的相邻两项之差,所得数列

称为原数列 的二阶差数列

依此类推,对任意 ,可以定义数列 的 阶差数列

如果 的 阶差数列是一个非零常数数列,那么称它为 阶等差数列特别地,一阶等差数列就是我们通常说的等差数列,二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列

注意到,数列是定义在 上的函数,将上述作差思想予以推广就得到了差分的概念

设 是定义在 上的函数,令 ,则 也是定义在 上的函数,它称为 的一阶差分,与上类似,我们可以递推地定义 的二阶,三阶, , 阶差分

利用数学归纳法易证下面的定理:

定理1 设 是定义在 上的函数,则

如果函数 是关于 的 次多项式,那么 是关于 的 次多项式, 是关于 的 次多项式, , 是关于 的零次多项式,且 (这里 是 的首项系数),而当 , 时,

反过来,对函数 ,如果 ,那么 是关于 的一个次数不超过 的多项式

将这些结论应用于高阶等差数列,我们有

定理2 数列 是一个 阶等差数列的充要条件是数列的通项 为 的一个 次多项式

显然不是面板数据，是时间数据。eviews和stata都可以搞定时间序列数据。一般经济变量取对数后，一阶就平稳了。怎么可能有一个变量二阶平稳呢？我一般都是想法弄成一阶平稳。对数后再一阶，已经降低很多趋势了。对这个问题，一是数据有问题二是你设置可能存在问题，如选择是否带有趋势项，截距项，或者俩个都有或者俩个都没有。要按照变量的走势，选择合适的选项，才能使得检验结果可靠。选对了这个你所谓的一个变量是二阶就会是这个变量也是一阶平稳的注意，非同阶很麻烦的，不能做协整回归。

答：本题是算是问对人了，
如果你要想深入分析，需要用到函数的泰勒展开。
1）
你说的两种方法都可以用，但是后面的方法精度更高。
f''(x)=[f(x+h)-2f(x)+f(x-h)]/h^2
方法是等效与
f''(x)=[f'(x+h/2)-f'(x-h/2)]/h
是2阶精度
2）
先求其一阶导数值，然后再用一阶的差分公式求出2阶的导数，是1阶精度。
就好比
f'(x)=[f(x+h)-f(x-h)]/2h
是2阶精度，
f'(x)=[f(x+h)-f(x)]/h
是1阶精度。
关键就是在泰勒展开方面
f（x+h）=f（x）+f'(x)h+bf''(x)h^2+cf'''(x)h^3
b，c为泰勒展开的系数
f（x-h）=f（x）-f'(x)h+bf''(x)h^2-cf'''(x)h^3
可以看出
如果用
[f（x+h）-f（x）]/h
=f'(x)+bf''(x)h+cf'''(x)h^2
后面的是误差项。
如果用
[f（x+h）-f（x=h）]/2h
=f'(x)
+
cf'''(x)h^2
可以明显看出第二种方法的误差更小。
同理可以推导二阶导数的精度问题。
望采纳，如果有不明白的，可以进一步沟通

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