二重积分的计算区域为圆环时怎么算

对于积分区域为圆或者圆环，我们都可以用极坐标求解，二者的区别在于积分上下限的不同，如果积分区域是圆的话，r的下限为0，如果积分区域为圆环的话，r的下限就是小的圆。
比如，积分区域是1<=x^2+y^2<=4，那么，r的范围就是1到2。

扩展资料：

二重积分的计算方法：
1、二重积分的性质
（1）被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面。
（2）函数和（或差）的二重积分等于各个函数二重积分的和（或差）。
（3）如果在D上，f(x,y)=A，A是常数，则σ为D的面积。
（4）如果闭区域D被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分区域上的二重积分的和，例如D被分为两个闭区域D1和D2。
（5）如果在D上，则有不等式
。
（6）设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积。
（7）二重积分中值定理：设函数f(x,y)在区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点，使得下式成立：
2、在直角坐标系下计算二重积分
对于区域D，其实只要围着它积分就好了，很容易，不用死记X型和Y型。
3、对称性：（挺重要的一个概念）
设函数f(x,y)是平面区域D上的二元函数，又
（1）如果区域D关于x轴对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上关于y偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D1是D在上半平面部分。
（2）如果区域D关于y轴对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上关于x偶函数（或奇函数），此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D2是D在右半平面部分。
（3）如果区域D关于原点对称，且对任意 ，称f(x,y)在D上同时关于x和y为偶函数（奇函数）。此时整个区域积分等于 （奇函数时为0），其中D3是D在上半平面部分。
4、极坐标系下计算二重积分
（1）极坐标和直角坐标之间的关系：x=rcos
θ；y=rsin
θ。
（2）二重积分当变量从直角坐标变到极坐标时，计算公式：
（3）极点位置的三个情况：
①当极点在积分区域D的外部，如果D={ }、如果函数 在区域[α，β]上连续，则积分
②当极点在积分区域D的内部，如果D={ }、如果函数φ(θ)在区域[0，2π]上连续，则积分
③当极点在积分区域D的边界上，如果D={ }、如果函数φ(θ)在区域[α，β]上连续，则积分。
（理解：里面积分的，其实就是把某个角度的线段积分起来（所以是从最靠近极点的函数积到原离极点的函数），外面的就是把角度积起来）
5、二重积分的换元法：
设函数f(x,y)在xOy平面上的有界闭区域D上连续，变换T： ，将uOv上的平面上的闭区域D'变为xOy平面上的闭区域D，且满足。
（1）在D'上具有一阶连续偏导数
（2）在D'上雅克比行列式：
（3）变换T：D'→D是一一对应的。

就是把x看成固定的数，把y看成自变量，这样的函数若为奇函数，则二重积分积分为0。

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

二重积分主要是看积分函数的奇偶性，如果积分区域关于X轴对称考察被积分函数Y的奇偶，如果为奇函数，这为0，偶函数这是其积分限一半的2倍。如果积分区域关于y轴对称考察被积分函数x的奇偶，三重积分也有奇偶性，但是有差别，要看积分区域对平面。

几何意义

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

对称性计算二重积分时要看被积函数或被积函数的一部分是否关於某个座标对称，积分区间是否对称，如果可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。

1、二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

2、二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

3、函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

解答过程如下：

要求二重积分，则要将二重积分转换为先对u求积分后对v求积分或者先对v求积分后对u求积分。

这里是先对u求积分。用凑微分的方法求出对u积分的结果为（-1/2）e^（-2u），代入数值，得到-1/2×（e^（-2x）-1），然后再对v求积分。具体过程如图所示。

结果则为所求。

[-xcos(x+y)]'
=
xsin(x+y)
-
cos(x+y)
xsin(x+y)
=
cos(x+y)
-
[xcos(x+y)]'
以上是对
x
求导
的结果。把y暂看作常数。
二重积分，可以先把y看作常数，对x进行积分。然后再对y积分。
∫∫xysin(x+y)
dxdy
=
∫y
[∫xsin(x+y)
dx]
dy
=
∫y
{∫cos(x+y)
-
[xcos(x+y)]'
dx
}
dy
=
∫y
[∫cos(x+y)
dx]
dy
-
∫y
∫[xcos(x+y)]'
dx
dy
=
∫y
sin(x+y)
dy
-
∫xycos(x+y)
dy
对于其中第一项，仍然采用分部积分法
∫y
sin(x+y)
dy
=
∫
{cos(x+y)
-
[ycos(x+y)]'
}
dy
=
sin(x+y)
-
ycos(x+y)
对于第二项
∫xycos(x+y)
dy
=
x∫ycos(x+y)
dy
=
x
∫
{[ysin(x+y)]'
-
sin(x+y)
}
dy
=
xysin(x+y)
+
xcos(x+y)
因此
原二重积分结果为
sin(x+y)
-
ycos(x+y)
-
xysin(x+y)
-
xcos(x+y)
=
(1
-xy)sin(x+y)
-
(x+y)
cos(x+y)
（经对x和y求导检验后，上述结果正确）
以下限代入
=
(1
-
0)sin0
-
(0+0)cos0
=
0
以上限
x+y=π/2
代入
=
1
-
xy
=
1
-
x(π/2
-
x)
=
1
-
πx/2
+
x^2
其中
x
∈[0，π/2]
上限
为
x+y
=
π/2。但
x
和y
本身并非定值。这导致了积分结果依然是一个函数。

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